[論文レビュー] Asymptotic Lower Bounds for Optimal Tracking: a Linear Programming Approach

Jiatu Cai, Mathieu Rosenbaum+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、線形計画法を用いて、連続的な Itô 半 martingale 目標の最適追従の漸近的下界を確立する。追従コストを占有測度および Browmian 力の時間平均制御を通じてモデル化することで、インパulse、特異的、および通常の制御を含むさまざまなコスト構造に対して明示的に計算可能な決定的下界を導出する。

ABSTRACT

We consider the problem of tracking a target whose dynamics is modeled by a continuous Itō semi-martingale. The aim is to minimize both deviation from the target and tracking efforts. We establish the existence of asymptotic lower bounds for this problem, depending on the cost structure. These lower bounds can be related to the time-average control of Brownian motion, which is characterized as a deterministic linear programming problem. A comprehensive list of examples with explicit expressions for the lower bounds is provided.

研究の動機と目的

• 連続的な Itô 半 martingale を含む最適追従問題の漸近的下界を確立すること。
• Browmian 力の時間平均制御を決定的線形計画問題として特徴付けること。
• インパulse、特異的、および通常の制御という異なる制御タイプにおける下界の明示的表現を提供すること。
• 共通の占有測度フレームワークを通じて、金融および制御応用分野における追従コストの分析を統一すること。
• 固定および比例成分を含むコスト構造の変動に強く、一貫した下界を導出するための体系的アプローチを提供すること。

提案手法

• 有限時間区間における偏差ペナルティと制御コストの組み合わせの最小化として追従問題を定式化すること。
• ドリフトおよび拡散係数を有する連続的 Itô 半 martingale としてのターゲットダイナミクスをモデル化すること。
• 制御戦略を3つのクラスとして表現する：インパulse（離散的ジャンプ）、特異的（有界変動）、および通常の（絶対連続）制御。
• 状態空間における制御過程の長期的分布を記述するための占有測度を導入すること。
• 時間平均化および安定収束技術を用いて、漸近的追従問題を決定的線形計画問題に変換すること。
• 安定収束および確率測度の弱収束の理論を適用し、制御戦略およびコスト関数の極限を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ターゲットが連続的な Itô 半 martingale に従う場合、最適追従の漸近的下界は何か？
• RQ2 Browmian 力の時間平均制御を決定的線形計画問題としてどのように定式化できるか？
• RQ3 固定および比例コストを伴うインパulse制御における下界の明示的表現は何か？
• RQ4 さまざまなコスト関数下で、特異的および通常の制御フレームワークにおける下界はどのように異なるか？
• RQ5 占有測度アプローチは、異なる制御タイプ間での追従コスト分析を統一的に扱えるか？

主な発見

• 時間平均占有測度に基づく線形計画法による定式化を用いて、最適追従の漸近的下界が導出された。
• 下界は明示的に計算可能であり、固定および比例成分を含むインパulse制御におけるコスト構造に依存する。
• 特異的制御では、制御方向および累積変動を含む線形計画問題を解くことで下界が決定される。
• 通常の制御では、制御速度に関する時間平均最適化から下界が導出され、コスト関数は制御速度の二乗関数として定式化される。
• 本フレームワークはインパulse、特異的、通常の制御のすべてに一様に適用可能であり、下界分析の統一的アプローチを提供する。
• 結果は固定および比例成分を含むコスト構造の変動に強く、確率的重み過程および一般の凸コスト関数（二次型および L1 型ペナルティを含む）へも拡張可能である。