[論文レビュー] Asymptotic Normality of Random Sums of m-dependent Random Variables

Ümi̇t Işlak|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、定常的m-依存確率変数の確率的和について中心極限定理を確立し、ChenとShaoのi.i.d.の場合の結果を一般化する。3次モーメントの条件下で、$\sum_{i=1}^{N_n} X_i$ の漸近正規性を証明し、分散が $n(\nu\sigma^2 + 2\nu\sum_{j=1}^m a_j + \mu^2\tau^2)$ のようにスケーリングされることを示す。ここで $N_n$ は過程とは独立な確率的インデックスである。

ABSTRACT

We prove a central limit theorem for random sums of the form $\sum_{i=1}^{N_n} X_i$, where $\{X_i\}_{i \geq 1}$ is a stationary $m-$dependent process and $N_n$ is a random index independent of $\{X_i\}_{i\geq 1}$. Our proof is a generalization of Chen and Shao's result for i.i.d. case and consequently we recover their result. Also a variation of a recent result of Shang on $m-$dependent sequences is obtained as a corollary. Examples on moving averages and descent processes are provided, and possible applications on non-parametric statistics are discussed.

研究の動機と目的

• i.i.d. 確率的和の中心極限定理を、定常的m-依存過程のケースに拡張すること。
• ChenとShaoのi.i.d. 確率的和に関する結果を、m-依存構造を有する依存的設定に一般化すること。
• 特に[13]におけるm-依存確率的和に関する先行研究を回復・精緻化すること。
• 弱い依存性の下で、確率的和の分散の公式と漸近正規性を提供すること。
• 非パラメトリック統計における確率的サンプルサイズを伴う応用を検討すること。

提案手法

• i.i.d. 場合のChenとShaoの証明手法をm-依存過程に一般化する。
• Waldの等式を用いて、確率的和の期待値 $\mathbb{E}[\sum_{i=1}^{N_n} X_i] = n\nu\mu$ を計算する。
• m-依存列の共分散構造を用いて、$\mathrm{Var}(\sum_{i=1}^{N_n} X_i)$ の正確な分散公式を導出する。
• スラツキーの定理を適用するため、正規化された標準偏差が漸近的標準偏差にほとんど確実に収束することを示す。
• 有限範囲の依存性を分散計算で取り扱うために、指示関数 $\Gamma_{k,j} = \mathbbm{1}(k \geq j+1)$ を用いる。
• CLTの証明における誤差項を制御するため、3次モーメントの条件 $\mathbb{E}|X_1|^3 < \infty$ および $\mathbb{E}|Y_1|^3 < \infty$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インデックス $N_n$ が確率的かつ独立である場合、m-依存確率変数の確率的和について中心極限定理が成り立つか？
• RQ2 確率変数 $X_i$ の依存構造に応じて、$\sum_{i=1}^{N_n} X_i$ の漸近分散はどのように変化するか？
• RQ3 m=0 の場合（i.i.d. の場合）、i.i.d. のCLTが特殊ケースとして回復できるか？
• RQ4 分散式における剰余項 $\alpha(m)/n$ の役割は何か？ そして、漸近的に消えるか？
• RQ5 この結果は弱い依存性を持つ過程へ拡張可能か？ また、非パラメトリック統計的推論に応用可能か？

主な発見

• 正規化された和 $\frac{\sum_{i=1}^{N_n} X_i - n\mu\nu}{\sqrt{n(\nu\sigma^2 + 2\nu\sum_{j=1}^m a_j + \mu^2\tau^2)}}$ は、$n \to \infty$ のとき標準正規分布に分布収束する。
• 和の分散は $n(\nu\sigma^2 + 2\nu\sum_{j=1}^m a_j + \mu^2\tau^2) + \alpha(m)$ であり、$\alpha(m)/n \to 0$ が $n \to \infty$ のとき成り立つ。
• m=0（i.i.d. の場合）では、結果は古典的CLTに還元され、ChenとShaoの結果が回復される。
• 決定的和 $\sum_{i=1}^N X_i$ の分散公式は $N(\sigma^2 + 2\sum_{j=1}^m a_j \Gamma_{N,j}) - 2\sum_{j=1}^m j a_j \Gamma_{N,j}$ として導出される。
• 剰余項 $\alpha(m)$ は有界であり、$n$ で正規化すると漸近的に消えるため、主要な分散項が支配的になる。
• 例として移動平均過程や降下過程が挙げられ、非パラメトリック統計における確率的サンプルサイズの応用が示唆される。