[論文レビュー] Asymptotic of the distribution and harmonic moments for a supercritical branching process in a random environment

Ion Grama, Quansheng Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、最初の世代で個体が絶滅しないという条件下で、確率的環境下の上昇的枝分かれ過程における有限時間遷移確率 $\mathbb{P}(Z_n = j \mid Z_0 = k)$ の正確な漸近的減衰率を確立する。明示的な同値 $\mathbb{P}(Z_n = j) \sim \gamma^n q_j$ を得ており、$\gamma = \mathbb{P}(Z_1 = 1)$ である。さらに、マーティングルの極限 $W = \lim Z_n / \mathbb{E}(Z_n \mid \xi)$ の調和モーメントの存在に関する臨界値を、関数不等式のアプローチにより特定する。

ABSTRACT

Let $(Z_n)$ be a supercritical branching process in an independent and identically distributed random environment $ξ$. We show the exact decay rate of the probability $\mathbb{P}(Z_n=j | Z_0 = k)$ as $n o \infty$, for each $j \geq k,$ assuming that $\mathbb{P} (Z_1 = 0) =0$. We also determine the critical value for the existence of harmonic moments of the random variable $W=\lim_{n o\infty}\frac{Z_n}{\mathbb E (Z_n|ξ)}$ under a simple moment condition.

研究の動機と目的

• 確率的環境下の上昇的枝分かれ過程において、$n \to \infty$ のときの $\mathbb{P}(Z_n = j \mid Z_0 = k)$ の正確な漸近的挙動を $j \geq k$ に対して特定すること。
• 先行研究の対数的大偏差結果を、正確な漸近的同値に拡張し、[9] および [10] を改善すること。
• 平均子孫数の最小限のモーメント条件の下で、マーティングル極限 $W = \lim Z_n / \mathbb{E}(Z_n \mid \xi)$ の調和モーメント $\mathbb{E}[W^{-a}] < \infty$ の存在に関する臨界値を確立すること。
• 生成関数 $Q(t) = \sum_{j=1}^\infty q_j t^j$ が満たす関数方程式 $\gamma Q(t) = \mathbb{E}[Q(f_0(t))]$ を特徴付け、収束半径が 1 であることを示すこと。
• 生成関数の技法とドミネート収束定理を用いて、漸近的確率を定義する再帰的関係の解の一意性を証明すること。

提案手法

• 係数 $q_j$ の再帰的系を用いて、$\mathbb{P}(Z_n = j) \sim \gamma^n q_j$ という漸近的同値を導出する。ここで $\gamma = \mathbb{P}(Z_1 = 1)$ である。
• 生成関数 $Q(t)$ を、$t \in [0,1)$ に対して $\gamma Q(t) = \mathbb{E}[Q(f_0(t))]$ を満たす唯一の解として特徴付ける。ここで $f_0(t)$ は環境下での $Z_1$ の生成関数である。
• 関数不等式を用いて、調和モーメントの臨界値を確立する：$\mathbb{E}[W^{-a}] < \infty$ であるための必要十分条件は $\mathbb{E}[p_1(\xi_0) m_0^a] < 1$ であり、ここで $m_0 = \mathbb{E}_\xi[Z_1]$ である。
• $k$ 個の祖先から始めるプロセスの再帰的分解を用いて、ラプラス変換の不等式 $\phi(t) \leq q \mathbb{E}[\phi(Yt)] + C t^{-a}$ を導出し、減衰率の解析を可能にする。
• 一意性の証明において、合成関数の高階微分を計算するための Faà di Bruno の公式を適用する。
• ドミネート収束定理を用いて、$\gamma_k^{-n} \sum_{j=k+1}^\infty |q_{k,j} - \hat{q}_{k,j}| G_{j,n}(t) \to 0$ が成り立つことを示し、生成関数 $Q_k(t)$ の解の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的環境下の上昇的枝分かれ過程において、$\mathbb{P}(Z_1 = 0) = 0$ のもとで、$n \to \infty$ のときの $\mathbb{P}(Z_n = j \mid Z_0 = k)$ の正確な漸近的減衰率は何か？
• RQ2 極限分布の生成関数 $Q(t)$ はどのような関数方程式を満たし、収束半径は何か？
• RQ3 $\mathbb{E}[W^{-a}] < \infty$ となるような $a > 0$ の臨界値は何か？ここで $W = \lim Z_n / \mathbb{E}(Z_n \mid \xi)$ である。
• RQ4 有界性よりも弱いモーメント条件、例えば $\mathbb{E}[m_0^p] < \infty$（$p > a$）の下でも、調和モーメントの存在を確立できるか？
• RQ5 漸近的確率を定義する再帰的関係の解は一意か？生成関数と収束定理を用いてその証明は可能か？

主な発見

• 遷移確率は、$n \to \infty$ のとき $\mathbb{P}(Z_n = j \mid Z_0 = 1) \sim \gamma^n q_j$ を満たす。ここで $\gamma = \mathbb{P}(Z_1 = 1) > 0$ であり、$q_j \in (0, \infty)$ は再帰的系によって一意に定まる。
• 生成関数 $Q(t) = \sum_{j=1}^\infty q_j t^j$ の収束半径は 1 であり、$t \in [0,1)$ で関数方程式 $\gamma Q(t) = \mathbb{E}[Q(f_0(t))]$ を満たす。
• 調和モーメント $\mathbb{E}[W^{-a}] < \infty$ の存在に関する臨界値は、$\mathbb{E}[p_1(\xi_0) m_0^a] < 1$ によって特徴付けられる。モーメント条件 $\mathbb{E}[m_0^p] < \infty$（$p > a$）が成り立つ場合、これは有界性よりも弱い条件である。
• $Z_0 = k$ の再帰的関係の解 $Q_k(t)$ は、$[0,1)$ 上で一意であり、生成関数の差に関するドミネートと収束の議論によって証明される。
• ラプラス変換 $\phi(t) = \mathbb{E}[e^{-tW}]$ の $t \to \infty$ における減衰率は、再帰的関数不等式を用いて解析され、臨界モーメント閾値の導出が可能になる。
• 一意性の証明には、合成関数の微分を計算するための Faà di Bruno の公式と、生成関数を含む級数の極限を制御するための Lebesgue のドミネート収束定理が用いられる。