[論文レビュー] Asymptotic Optimal Strategy for Portfolio Optimization in a Slowly Varying Stochastic Environment

Jean‐Pierre Fouque, Ruimeng Hu|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、資産リターンとボラティリティがゆっくり変化する確率的環境下におけるポートフォリオ最適化の厳密な漸近的近似を展開する。資産のリターンとボラティリティがゆっくり動く要因に依存する環境において、以前にヒューリスティックに導出された零次近似の部分最適戦略が、弱い正則性条件の下で漸近的に最適であることを証明している。収束速度は摂動スケーリングに依存する。

ABSTRACT

In this paper, we study the portfolio optimization problem with general utility functions and when the return and volatility of underlying asset are slowly varying. An asymptotic optimal strategy is provided within a specific class of admissible controls under this problem setup. Specifically, we first establish a rigorous first order approximation of the value function associated to a fixed zeroth order suboptimal trading strategy, which is given by the heuristic argument in [J.-P. Fouque, R. Sircar and T. Zariphopoulou, {\it Mathematical Finance}, 2016]. Then, we show that this zeroth order suboptimal strategy is asymptotically optimal in a specific family of admissible trading strategies. Finally, we show that our assumptions are satisfied by a particular fully solvable model.

研究の動機と目的

• ゆっくり変化する確率的環境下でのポートフォリオ最適化における価値関数の厳密な一次近似を確立すること。
• 以前にヒューリスティックに導出された零次部分最適戦略が、特定の許容制御のクラス内で漸近的に最適であることを証明すること。
• 仮定が完全に解けるモデルで成り立つことを示すことにより、漸近的枠組みを検証すること。
• ゆっくり因子のスケーリングの異なるレームで、近似の収束速度を分析すること。

提案手法

• 摂動理論を用いて、$ V^\delta = v^{(0)} + \sqrt{\delta}v^{(1)} + \delta v^{(2)} + \cdots $ のように価値関数を展開し、$ \delta $ は因子の遅さを測る。
• ゆっくり因子のダイナミクスの下で、漸近方程式 (2.16) および (2.18) を用いて、一次項の価値関数 $ v^{(0)} $ と一次補正項 $ v^{(1)} $ を導出する。
• 一次項の価値関数に基づいて、零次部分最適戦略 $ \pi^{(0)} = -\frac{\lambda(z)}{\sigma(z)} \frac{v^{(0)}_x}{v^{(0)}_{xx}} $ を定義する。
• 主要なモーメントの有界性仮定の下で、$ \pi^{(0)} $ における期待効用が真の最適値に $ O(\delta^{\alpha}) $ の速度で収束することを証明することで、漸近的最適性を確立する（$ \alpha > 0 $）。
• 摂動戦略の族 $ \pi = \widetilde{\pi}^0 + \delta^\alpha \widetilde{\pi}^1 $ を導入し、$ v^{(0)} $、$ v^{(1)} $ およびその微分のモーメントが一様有界であるための十分条件（仮定 C.1）を導出する。
• フレームワークを完全に解けるモデルに適用し、仮定が満たされることを確認することで、漸近的近似の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fouque 他（2016）で導出されたヒューリスティックな零次戦略が、ゆっくり変化する確率的環境下で厳密に漸近的に最適であることが証明できるか？
• RQ2 零次戦略の漸近的最適性を保証するための係数およびモーメントに必要な条件は何か？
• RQ3 近似の収束速度は、スケーリングパラメータ $ \delta $ および摂動次数 $ \alpha $ にどのように依存するか？
• RQ4 どの許容戦略のクラスにおいて零次戦略が漸近的に最適であるか？
• RQ5 完全に解けるモデル（明示的解付き）において、漸近的枠組みは成り立つか？

主な発見

• 零次部分最適戦略 $ \pi^{(0)} $ は、戦略のクラス $ \widetilde{\pi}^0 + \delta^\alpha \widetilde{\pi}^1 $ において漸近的に最適であり、収束速度は $ O(\delta^\alpha) $（$ \alpha > 1/4 $）である。
• $ 0 < \alpha < 1/4 $ の場合、$ \widetilde{v}^{2\alpha} $（価値関数展開における $ \delta^{2\alpha} $ の係数）を含む修正されたモーメントバインディングのもとで、漸近的最適性が成立する。
• 臨界ケース $ \alpha = 1/4 $ では、収束速度は $ O(\delta^{1/4}) $ であり、一次補正項 $ \widetilde{v}^{(1)} $ は線形PDE（式 4.10）を満たす。
• 仮定 C.1 により、主要なモーメント項の一様有界性が保証され、これが戦略の漸近的最適性の証明に不可欠である。
• 条件が満たされる完全に解けるモデルにフレームワークを適用した結果、理論的収束速度が確認された。
• 有界性条件が満たされる下で、$ v^{(0)} $ と $ v^{(1)} $ から構築された価値関数近似 $ \widetilde{V}^\delta $ は、精度 $ O(\delta^{1/2}) $ を達成する。