[論文レビュー] Asymptotic pairs, stable sets and chaos in positive entropy systems

Wen Huang, Leiye Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、可算で離散的かつ無限な左順序可能可換群 $G$ に対する正エントロピー $G$-系において、漸近的ペアとカオス的挙動の存在が安定集合と深く結びついていることを確立する。局所的解析と不変測度を用いて、$\mu$-ほとんど everywhere の $x$ に対して、$S$-安定集合 $W_S(x,G)$ が可算個のカントール集合の和集合である非可算な $(S^{-1},\delta)$-Li-Yorke集合を含むことを証明し、安定集合を通じて正エントロピーと豊かなカオス的構造を結びつける。

ABSTRACT

We consider positive entropy $G$-systems for certain countable, discrete, infinite left-orderable amenable groups $G$. By undertaking local analysis, the existence of asymptotic pairs and chaotic sets will be studied in connecting with the stable sets. Examples are given for the case of integer lattice groups, the Heisenberg group, and the groups of integral unipotent upper triangular matrices.

研究の動機と目的

• 可算で離散的かつ無限な左順序可能可換群 $G$ に対する $G$-系における、正トポロジカルエントロピー、漸近的ペア、カオス的集合の相乗的関係を調査すること。
• 正エントロピーが非対角的漸近的ペアおよびカオス的挙動の存在を示す条件を特定すること。
• 代数的過去と安定集合解析を用いて、既知の $\mathbb{Z}$-系の結果をより広い可換群のクラスに拡張すること。
• 正エントロピー系における安定集合の構造を特徴づけ、非可算なカオス的部分集合を含むことを示すこと。

提案手法

• Følner列を用いて、代数的過去 $\Phi$ に関して、半群 $S\subset G$ に対して漸近的ペアおよび安定集合 $W_S(x,G)$ を定義する。
• 弱極限 $\lambda_n = \mu \times_{\mathcal{F}_n} \mu$ が、$\Phi$ に関して $g_n \nearrow \infty$ となる列に沿って分析するため、確率論的理論とマルティングール収束を適用する。
• 不変測度 $\mu = \int \mu_x d\mu(x)$ を $G$-不変な部分 $\sigma$-代数 $\mathcal{F}$ に沿って分解し、安定集合の点ごとの性質を研究する。
• マルティングール定理を適用して $\lambda_n \to \lambda = \mu \times_{P_\mu(G)} \mu$ を示し、測度の弱収束を確立する。
• $\lambda$ の不変性およびエルゴード性を用いて、$\lambda(U_{i,g}) = \lambda(V_{i,g}) = 1$ を証明し、主要な集合に全測度を有することを示す。
• 測度論的結果と位相的議論を組み合わせ、$\mu_x$-ほとんど everywhere の $x$ に対して、$W_S(x,G)$ 内に非可算で完全かつ $G_\delta$-稠密な部分集合が存在し、それが $(S^{-1},\delta)$-カオス的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左順序可能可換群 $G$ に対する $G$-系で正トポロジカルエントロピーが成立する場合、ある半群 $S$ に対して非対角的 $S$-漸近的ペアが存在するか？
• RQ2 カオス的挙動、特に $(S,\delta)$-Li-Yorkeペアが、正エントロピー系の安定集合に保証されるか？
• RQ3 $h_{\text{top}}(G,X) > 0$ のとき、安定集合 $W_S(x,G)$ の位相的および測度論的構造はいかなるものか？
• RQ4 群 $G$ の代数的過去 $\Phi$ は、漸近的ペアおよびカオス的集合の存在にどのように影響するか？

主な発見

• 任意の $\mu$-ほとんど everywhere の $x \in X$ に対して、$S$-安定集合 $W_S(x,G)$ は可算個のカントール集合の和集合である非可算な $(S^{-1},\delta)$-Li-Yorke集合を含む。
• $\mu$-ほとんど everywhere の $x$ に対して、条件付き測度 $\mu_x$ の台は完全集合であり、$W_S(x,G)$ に含まれる。これは、安定集合内に非可算なカオス的構造があることを示唆する。
• $\lambda = \mu \times_{P_\mu(G)} \mu$ は $G$-不変かつエルゴード的であり、$\lambda(\Delta_X) = 0$ を満たすため、$\mu$-ほとんど everywhere の $x$ に対して $\mu_x$ は非原子的である。
• $\mu$-ほとんど everywhere の $x$ に対して、$W \cap \text{supp}(\mu_x) \times \text{supp}(\mu_x)$ は $\text{supp}(\mu_x) \times \text{supp}(\mu_x)$ の $G_\delta$-稠密部分集合である。これは豊かな位相的構造を示している。
• $\mu$-ほとんど everywhere の $x$ に対して、$W_S(x,G)$ は非可算な $(S^{-1},\delta)$-カオス的部分集合を含む。これは正エントロピーとカオス的力学の間の関係を結ぶ。
• 本結果は、既知の $\mathbb{Z}$-系の結果を、$\mathbb{Z}^d$、ヘイゼンベルク群、およびユニポテンツ上三角行列からなる広いクラスの可換群に一般化する。