[論文レビュー] Asymptotic Preserving and Low Mach Number Accurate IMEX Finite Volume Schemes for the Euler Equations

K. R. Arun, Saurav Samantaray|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、圧縮性エーラー方程式に対する2次精度の漸近的保存的かつ低マッハ数精度を有するIMEX有限体積スキームを提示する。圧力関連の剛性（stiff）なフラックスと速度関連の非剛性（non-stiff）なフラックスに分離し、それぞれを時間的に陰解法と陽解法で扱うことにより、空間的に中央差分を用いることで、マッハ数に依存しない精度を維持し、零マッハ数極限においても漸近的精度を達成する。

ABSTRACT

In this paper, the design and analysis of a class of second order accurate IMEX finite volume schemes for the compressible Euler equations in the zero Mach number limit is presented. In order to account for the fast and slow waves, the nonlinear fluxes in the Euler equations are split into stiff and non-stiff components, respectively. The time discretisation is performed by an IMEX Runge-Kutta method, therein the stiff terms are treated implicitly and the non-stiff terms explicitly. In the space discretisation, a Rusanov-type central flux is used for the non-stiff part, and simple central differencing for the stiff part. Both the time semi-discrete and space-time fully-discrete schemes are shown to be asymptotic preserving. The numerical experiments confirm that the schemes achieve uniform second order convergence with respect to the Mach number. A notion of accuracy at low Mach numbers, termed as the asymptotic accuracy, is introduced in terms of the invariance of a well-prepared space of constant densities and divergence-free velocities. The asymptotic accuracy is concerned with the closeness of the compressible solution with that of its incompressible counterpart in a low Mach number regime. It is shown theoretically as well as numerically that the proposed schemes are asymptotically accurate.

研究の動機と目的

• 零マッハ数極限において流れが非圧縮性となる状況でも、数値スキームが精度と安定性を保つように開発すること。
• 低マッハ数におけるエーラー方程式に起因する高周波数音響波に起因する剛性を解消すること。
• 定常密度および発散なしの速度場であるwell-prepared初期条件を保持することで、非圧縮性極限を正確に再現すること。
• すべてのマッハ数、特に漸近的領域においても一様な2次精度収束を達成すること。
• 低マッハ数領域における非圧縮性解への近さを測る新しい「漸近的精度」の概念を定式化し、数値的検証すること。

提案手法

• エーラー方程式を、圧力関連の剛性成分と速度関連の非剛性成分に分割し、速い波と遅い波を分離する。
• 剛性項を陰解法、非剛性項を陽解法で扱うIMEXルンゲ・クッタ時間離散化を採用し、剛性の扱いと安定性を確保する。
• 非剛性フラックスに対してRusanov型の中央フラックスを用いることで、双曲的領域におけるロバスト性と一貫性を確保する。
• 剛性フラックスに対して空間的に単純な中央差分を適用し、2次精度を保ちつつ漸近的極限と整合性を保つ。
• 時間半離散および完全離散スキームが漸近的保存的であることを証明し、マッハ数がゼロに近づくにつれて非圧縮性極限に収束することを示す。
• 定常密度および発散なしの速度場のwell-prepared多様体を保持するようにスキームを設計し、漸近的精度を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次精度の有限体積スキームは、零マッハ数極限においても安定性と精度を保つことができるか？
• RQ2 IMEX時間積分を用いて、低マッハ数流れにおける音響波に起因する剛性を効果的に扱う方法は何か？
• RQ3 圧縮性解が漸近的領域で非圧縮性解に近づくための条件は何か？
• RQ4 有限体積スキームに対して「漸近的精度」の概念を形式的に定義し、数値的に検証できるか？
• RQ5 提案されたスキームは、非常に小さなマッハ数を含むすべてのマッハ数において一様な2次収束を達成するか？

主な発見

• 提案されたIMEX有限体積スキームは漸近的保存的であり、マッハ数がゼロに近づくにつれて非圧縮性エーラー方程式に収束する。
• 空間的および時間的両方で、すべてのマッハ数、特に低マッハ数領域において一様な2次収束を達成する。
• 漸近的精度の概念は明確に定義され、数値的に検証され、低マッハ数極限において解が非圧縮性解に近づくことを保証する。
• 数値実験により、スキームが定常密度および発散なしの速度場のwell-prepared多様体を正確に保持していることが確認され、これは漸近的精度に不可欠である。
• フラックス分割、IMEX時間積分、中央差分空間離散化の組み合わせにより、圧縮性および非圧縮性両流れ領域においてロバストで精度の高い性能が得られる。
• 理論的解析と数値結果が一致し、マッハ数がゼロに近づく際にも2次精度が維持されることを示している。