[論文レビュー] Asymptotic preserving Implicit-Explicit Runge-Kutta methods for non linear kinetic equations

Giacomo Dimarco, Lorenzo Pareschi|arXiv (Cornell University)|May 4, 2012

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 30被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、特にボルツマン方程式を含む剛性のある非線形運動方程式に対して、ペナルティ付き陰・陽（IMEX）ルンゲ・クッタスキームを導入し、衝突項の逆行列を直接計算する必要がなく、漸近的保存性と精度を確保する手法を提示する。衝突項を平衡状態と非平衡状態に分解するペナルティ技法を用いることで、広範な緩和時間にわたり安定かつ効率的な計算が可能となり、3次スキームと数値実験により検証されている。

ABSTRACT

We discuss Implicit-Explicit (IMEX) Runge Kutta methods which are particularly adapted to stiff kinetic equations of Boltzmann type. We consider both the case of easy invertible collision operators and the challenging case of Boltzmann collision operators. We give sufficient conditions in order that such methods are asymptotic preserving and asymptotically accurate. Their monotonicity properties are also studied. In the case of the Boltzmann operator, the methods are based on the introduction of a penalization technique for the collision integral. This reformulation of the collision operator permits to construct penalized IMEX schemes which work uniformly for a wide range of relaxation times avoiding the expensive implicit resolution of the collision operator. Finally we show some numerical results which confirm the theoretical analysis.

研究の動機と目的

• Knudsen数が小さい流体力学的極限において、剛性のある非線形運動方程式に対して効率的な数値スキームを開発すること。
• 剛性領域における非線形ボルツマン衝突項の逆行列を直接計算する計算コストを回避することで、計算負荷を軽減すること。
• ペナルティ戦略を用いてIMEXルンゲ・クッタ法を完全なボルツマン方程式に拡張し、漸近的保存性および漸近的精度の性質を維持すること。
• 特に均一系の場合に、スキームの単調性と安定性を解析し、保証すること。
• 保存量を有する緩和作用素を伴う大規模な剛性ODE系に一般化可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 衝突作用素を $ R(Y) = N(Y) + L(Y) $ と分解し、$ L(Y) $ を平衡状態におけるヤコビアンの線形化近似とする。
• ボルツマン衝突積分の増加項を再定式化するためのペナルティ技法を導入し、非線形部分を明示的処理、線形化された緩和部分を陰的処理可能にする。
• ペナルティ付き作用素を含む線形系を解く陰的段階を持つIMEXスキームを構築し、完全な非線形衝突項の逆行列を回避する。
• 元のODE系の漸近的解析から導かれる十分条件を満たすことで、漸近的保存性を保証する。
• GSA（一般化段階順序）および単調性条件を満たす高次精度かつ強い安定性を持つスキームを設計する。
• ブッチャー表を用いて、明示的な制御が可能なパラメータチューニングにより、1次、2次、3次スキームを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な非線形ボルツマン方程式に適用した場合、IMEXルンゲ・クッタスキームが漸近的保存性および漸近的精度を維持できるか。
• RQ2 剛性領域において、非線形衝突項の陰解法の計算コストを削減しつつ、安定性や精度を損なわずに実現できるか。
• RQ3 どのペナルティ戦略が、漸近的挙動を保ちながら、ボルツマン衝突項の効率的かつ陰・陽結合統合を可能にするか。
• RQ4 ペナルティ付きIMEXスキームが、特に均一系において単調性を保つ条件は何か。
• RQ5 3次までの高次スキームを、漸近的保存性および無条件安定性を満たすように構築できるか。

主な発見

• ブッチャー表およびペナルティパラメータに関する十分条件を満たせば、ペナルティ付きIMEXスキームは完全なボルツマン方程式において漸近的保存性および漸近的精度を達成する。
• ペナルティ技法により、非線形衝突項の高価な陰解法を回避でき、広範な緩和時間にわたり効率的な計算が可能になる。
• 1次スキームである DP-A $(1,2,1)$ および DP-ARS $(1,2,1)$ はAA（漸近的精度）条件を満たし、$ ho \neq 1 $ の場合に単調性を達成可能である。
• 2次スキームである DP2-A $(2,4,2)$ はDIRK（対角線にのみ陰的ステップを持つルンゲ・クッタ）部分で3次精度を達成し、$ ho \to \rho_{\text{min}} $ のとき $ \rho \neq 1 $ であれば単調性を満たす。
• 3次スキームである DP1-A $(2,4,2)$ は4段で構築され、GSAおよびAA条件を両方満たしており、剛性領域でも高次精度を実現可能である。
• 数値結果は理論的解析を確認しており、$ \rho = 10^{-6} $ を含むさまざまな $ \rho $ 値において収束性と安定性が確認され、流体力学的極限の正確な解明が可能である。