[論文レビュー] Asymptotic properties of Arnold tongues and Josephson effect

Alexey Klimenko, Romaskevich, O.|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正弦波マイクロ波偏りを有する抵抗性ジョセフソン接合をモデル化するODEの族において、定常回転数を示すアーノルドの舌（Arnold tongues）の漸近的挙動を研究する。平均化法およびベッセル関数の漸近挙動を用いて、これらの舌の境界が、時間依存項の横断性およびリプシッツ条件が成り立つ場合に、第一種ベッセル関数に漸近的に近いことを証明する。

ABSTRACT

A three-parametrical family of ODEs on a torus arises from a model of Josephson effect in a resistive case when a Josephson junction is biased by a sinusoidal microwave current. We study asymptotics of Arnold tongues of this family on the parametric plane (the third parameter is fixed) and prove that the boundaries of the tongues are asymptotically close to Bessel functions.

研究の動機と目的

• 抵抗性ジョセフソン接合モデルから生じるトーラス上の三パラメータ族ODEのアーノルドの舌の漸近的構造を分析すること。
• 遅いパラメータμが小さく、マイクロ波振幅bが大きいとき、これらの舌の境界の明確な漸近的近似を確立すること。
• 平均値がゼロで横断性条件を満たす一般の周期的駆動項g(t)を組み込んだ、既存の結果の拡張。
• 舌の境界が第一種ベッセル関数によって漸近的に記述されることを証明し、余弦関数駆動の既知の結果を一般化すること。
• g(t)の正則性および横断性に依存する明示的な誤差項を含む、パラメータbおよびμにおける一様な推定値の提供。

提案手法

• ODE dx/dt = (cos x + a + b cos t)/μ を用いて、ジョセフソン接合をトーラス上の遅い・速い系としてモデル化する。
• ポアンカレ写像と回転数ρを用い、アーノルドの舌を定数有理数回転数の等高線集合として定義する。
• リッカティ方程式の構造に起因し、ポアンカレ写像がメビウス変換に共役であるという事実を活用する。
• 平均化理論を適用して回転数を近似し、駆動関数g(t)を含む積分表現を導出する。
• 停留化位相法および漸近解析を用いて、主要な積分J_k(−b/μ)の近似を進め、ベッセル関数の漸近挙動を導出する。
• g(t)の横断性条件を用いて誤差項の境界を確立し、|g(t)| < δ となる集合の測度が ≤ L₃δ であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マイクロ波振幅bが増大し、時間スケールμが小さくなるとき、アーノルドの舌の境界はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 余弦駆動を超えて、ベッセル関数近似がどの程度一般化可能か？
• RQ3 駆動関数g(t)の横断性がアーノルドの舌の漸近的構造に果たす役割は何か？
• RQ4 ベッセル関数近似の誤差項は、g(t)の正則性および減衰性にどのように依存するか？
• RQ5 パラメータbおよびμの異なる値において、舌の漸近的構造を一様に制御可能か？

主な発見

• b ≥ C₂μ および |kμ| + 1 ≤ C₁√(bμ) を満たすとき、ジョセフソン方程式のk番目のアーノルドの舌の境界は、ベッセル関数J_k(−b/μ)に漸近的に近い。
• 舌の境界の近似誤差は、g(t)の正則性および横断性に依存する定数を乗じたO(1/b)のオーダーで抑えられ、対数および逆べき乗補正項を含む。
• f(x) = cos x および g(t) = cos t の特定の場合には、a_k(b,μ) ≈ μk ± (1/μ) J_k(−b/μ) として、境界の漸近展開が得られ、明示的な誤差制御が可能である。
• 回転数の積分表現の漸近的形は、停留化位相近似により、b/μ → ∞ のときベッセル関数の挙動を示す。
• 横断性条件により、g(t)の臨界点が非退化であることが保証され、これがベッセル関数近似の有効性に不可欠である。
• 平均値がゼロで、リプシッツ定数L₂が存在し、|g(t)| < δ となる集合の測度が制御可能な任意の2π周期関数g(t)に対しても、結果は一般化可能であり、パrameter空間全域で一様な誤差境界が得られる。