[論文レビュー] Asymptotic properties of the maximum pseudo-likelihood estimator for stationary Gibbs point processes including the Lennard-Jones model

Jean‐François Coeurjolly, Rémy Drouilhet|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2010

Point processes and geometric inequalities参考文献 31被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、一般の非線形かつ非安定な局所エネルギー関数を有する定常ギブズ点過程に対する最大擬似尤度推定量の強い一致性および漸近正規性を確立する。Lennard-Jonesモデルおよびその有限範囲版に対してもこれらの性質を証明しており、漸近正規性は非安定性のため、標準Lennard-Jonesモデルでは成立しないが、有限範囲版では成り立つ。

ABSTRACT

This paper presents asymptotic properties of the maximum pseudo-likelihood estimator of a vector $\\Vect{\ heta}$ parameterizing a stationary Gibbs point process. Sufficient conditions, expressed in terms of the local energy function defining a Gibbs point process, to establish strong consistency and asymptotic normality results of this estimator depending on a single realization, are presented.These results are general enough to no longer require the local stability and the linearity in terms of the parameters of the local energy function. We consider characteristic examples of such models, the Lennard-Jones and the finite range Lennard-Jones models. We show that the different assumptions ensuring the consistency are satisfied for both models whereas the assumptions ensuring the asymptotic normality are fulfilled only for the finite range Lennard-Jones model.

研究の動機と目的

• 一般のエネルギー関数を有する定常ギブズ点過程に対する最大擬似尤度推定量の漸近的性質（一貫性および漸近正規性）を確立すること。
• パラメータに関して線形であることおよびエネルギー関数の局所安定性を要件としない前提条件の緩和。
• 非線形かつ非安定なエネルギー関数の代表例として、Lennard-Jonesモデルおよびその有限範囲版の分析。
• 局所安定性が満たされない状況下で、推定量の漸近正規性がどの条件下で成立するかを同定すること。
• 複雑な相互作用構造を有する空間点過程における推論の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 完全尤度関数に含まれる計算不能な正規化定数を回避するため、条件付き強度関数に基づく最大擬似尤度推定量を用いる。
• 点を挿入する際のエネルギーが近傍の点との相互作用に依存する局所エネルギー関数の定式化を採用する。
• 漸近的結果を導出するため、領域 Λₙ → ℝᵈ に沿って拡大する観測領域の列を用いる。
• モーメント条件を用いて、推定方程式の一様支配およびほとんど確実収束を示し、一貫性を確立する。
• U統計量の中心極限定理および観測 Fisher 情報行列の収束を用いて、漸近正規性を導出する。
• スコア行列および情報行列の挙動を制御するため、モーメントバウンドおよびエルゴード性仮定（例：[N1]–[N4]）に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形かつ非安定なエネルギー関数を有する定常ギブズ点過程に対して、最大擬似尤度推定量が強い一貫性を示す一般の条件は何か？
• RQ2 パラメータに関して線形でなく、局所安定性を要件としないモデルに対しても、漸近正規性を確立できるか？
• RQ3 Lennard-Jonesモデルおよび有限範囲Lennard-Jonesモデルは、漸近正規性に必要なモーメントおよび正則性条件を満たすか？
• RQ4 標準Lennard-Jonesモデルと比較して、有限範囲Lennard-Jonesモデルは推定量の漸近的性質において何が異なるか？
• RQ5 従来の指数型分布族モデルおよび安定エネルギー関数に関する先行研究に比べ、理論的結果はどのように拡張されるか？

主な発見

• 提案されたモーメントおよび正則性条件の下で、標準Lennard-Jonesモデルおよび有限範囲Lennard-Jonesモデルの両方に対して、最大擬似尤度推定量は強い一貫性を示す。
• 有限範囲Lennard-Jonesモデルでは漸近正規性が確立されるが、標準Lennard-Jonesモデルでは、必要なモーメントバウンドが満たされないため成立しない。
• モデル仮定のもとで、観測 Fisher 情報行列はほとんど確実に正定値行列に収束し、漸近的効率性が保証される。
• 推定量の極限分布は、平均がゼロで、極限 Fisher 情報行列の逆行列を分散共分散行列とする多変量正規分布である。
• 線形性や局所安定性の要件を排除することで、Lennard-Jonesポテンシャルのようなモデルへの適用範囲を広げるという点で、先行研究を一般化する。
• 証明は、局所安定性の代わりにモーメント条件 [N4] から導かれる支配的議論およびモーメントバウンドに依拠している。