[論文レビュー] Asymptotic results for Representation Theory

Dario De Stavola|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 90被引用数 5

ひとこと要約

本学位論文は、対称群および上三角群におけるプランシュレ測度に注目し、有限群の表現に関する漸近的結果を確立する。ケロフのプランシュレ特性に関する中心極限定理（Jucys-Murphy 要素を用いた拡張）を示し、部分和に関する大数の法則を証明し、超キャラクター理論における超プランシュレ測度を導入し、集合分割の極限形状を導出する。主な貢献として、多長方形座標における射影的キャラクター多項式の多項式性および正値性に関する予想が提示される。

ABSTRACT

Representation theory of finite groups portrays a marvelous crossroad of group theory, algebraic combinatorics, and probability. In particular the Plancherel measure is a probability that arises naturally from representation theory, and in this thesis we consider three ramifications of asymptotic questions for random Plancherel distributed representations. First we recall irreducible characters of the symmetric group, which are indexed by integer partitions. We focus on the so called 'dual approach', in which the partition indexing a character is now considered to be the variable. We extend a famous result of Kerov on the asymptotic of Plancherel distributed characters by studying partial trace and partial sum of a representation matrix. We decompose each of these objects into a main term and a remainder, and in each case we prove a central limit theorem for the main term. We apply these results to prove a law of large numbers for the partial sum. In the second part we consider projective representations of the symmetric group by converting a multirectangular approach developed by Stanley for the classical case. In particular, we present a positivity conjecture for the coefficients of the renormalized projective character, written as a polynomial in a new set of coordinates. We prove the positivity for the leading term of the polynomial. In the last part of the thesis we recall the theory of supercharacters, which is an alternative tool to representation theory when the classical approach proves to be intractable. We show that a generalization of the Plancherel measure, called the superplancherel measure, arises naturally. We focus on a particular supercharacter theory for the upper unitriangular group in which supercharacters are indexed by set partitions. We prove a limit shape result for a random set partition according to this distribution.

研究の動機と目的

• 部分トレースおよび表現行列の和を用いて、対称群のプランシュレ分布に従う特性に関するケロフの漸近的結果を拡張すること。
• Jucys-Murphy 要素と対称関数の展開を用いて、既約キャラクターとヤング図形の双対性を調査すること。
• 上三角群の超キャラクター理論へのプランシュレ測度の一般化を行い、極限形状に関する結果を導出すること。
• 古典的表現理論と射影的表現理論の間の組合せ的類似性を調査し、特に厳密な分割の多長方形座標における性質に注目すること。
• 群の行列式多項式の既約性に基づく、整数値超キャラクター理論の最小性に関する基準を提示すること。

提案手法

• 表現行列の部分トレースおよび部分和を、主要項と剰余項に分解し、主要項に対して中心極限定理を適用する。
• Jucys-Murphy 要素における対称関数の展開を用いて、キャラクターの漸近的挙動を分析する。
• スターリングの多長方形パarametrization を、厳密な分割のためのシフトされたヤング図形に翻訳する。
• 上三角群の超キャラクターによってインデックス付けられる集合分割の上に、超プランシュレ測度を定義する。
• 群の行列式構成を超キャラクターに適用し、Θχ(G) の既約性が超キャラクター理論の最小性と関連することを示す。
• 超プランシュレ測度の下での集合分割の2つの統計量の漸近的挙動を分析し、一様分布の下での先行研究を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プランシュレ測度の下で、プランシュレ分布に従う表現行列の部分トレースおよび部分和は、どのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 表現行列の部分トレースおよび部分和の分解における主要項に対して、中心極限定理を確立できるか？
• RQ3 超プランシュレ測度の下で、プランシュレ分布に従う厳密な分割の極限形状は何か？また、一様位相に拡張可能か？
• RQ4 多長方形座標における正規化された射影的キャラクターは多項式か？その係数は正値性を示すか？
• RQ5 ℤ 上で Θχ(G) の既約性を用いて、整数値超キャラクター理論の最小性に関する基準を得られるか？

主な発見

• プランシュレ測度の下で、表現行列の部分トレースおよび部分和の分解における主要項に対して、中心極限定理が証明された。
• 主要項の漸近的挙動に基づき、表現行列の部分和に関する大数の法則が確立された。
• 多長方形座標における正規化された射影的キャラクターが多項式であることが示され、その主要係数は正であることが判明した。
• この多項式のすべての係数が非負であるという予想が提示され、スターリングの結果を射影的ケースに拡張するものである。
• 集合分割の超プランシュレ測度の極限形状に関する結果が証明され、アイヴァノフの結果が一様位相に一般化された。
• 超プランシュレ測度の下での集合分割の2つの統計量の漸近的挙動が記述され、一様分布の下での先行研究が拡張された。