[論文レビュー] Asymptotic rigidity of Riemannian manifolds

Raz Kupferman, Cy Maor+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用数 2

ひとこと要約

本稿はリーマン多様体における2つの漸近的剛性定理を確立する：第一に、ほとんど everywhere で方向を保つ等長的微分を持つリプシッツ写像は、一般化されたパイオラ恒等式を用いて等長埋め込みであることを示す。第二に、方向を保つ等長写像に $L^p$ 収束する微分を持つ写像の列は、等長埋め込みに部分収束する。これらはリウヴィルとレシュティニャクの古典的結果をリーマン的設定に一般化し、非ユークリッド的弾性および多様体の収束に応用可能である。

ABSTRACT

We prove two rigidity theorems for maps between Riemannian manifolds. First, we prove that a Lipschitz map $f:M o N$ between two oriented Riemannian manifolds, whose differential is almost everywhere an orientation-preserving isometry, is an isometric immersion. This theorem was previously proved using regularity theory for conformal maps; we give a new, simple proof, by generalizing the Piola identity for the cofactor operator. Second, we prove that if there exists a sequence of mapping $f_n:M o N$, whose differentials converge in $L^p$ to the set of orientation-preserving isometries, then there exists a subsequence converging to an isometric immersion. These results are generalizations of celebrated rigidity theorems by Liouville (1850) and Reshetnyak (1967) from Euclidean to Riemannian settings. Finally, we describe applications of these theorems to non-Euclidean elasticity and to convergence notions of manifolds.

研究の動機と目的

• リウヴィル（1850年）とレシュティニャク（1967年）の古典的剛性定理を、ユークリッドからリーマン多様体へ拡張すること。
• 等長的微分を almost everywhere に持つリプシッツ写像の等長埋め込みとしての剛性を、共形正則性理論に依存せずに新たな証明を確立すること。
• 微分が方向を保つ等長写像の集合に $L^p$ 収束する写像列の漸近的挙動を同定すること。
• 非ユークリッド的弾性およびリーマン多様体の収束における理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 写像の微分の余因子を解析するために、古典的パイオラ恒等式をリーマン的設定に一般化すること。
• 一般化されたパイオラ恒等式を用いて、almost everywhere で方向を保つ等長的微分を持つリプシッツ写像が等長埋め込みであることを証明すること。
• 写像列の微分が方向を保つ等長写像の集合に $L^p$ で弱収束する挙動を分析すること。
• コンパクト性の議論を用いて、等長埋め込みに収束する部分列を抽出すること。
• $L^p$ 収束する微分と等長極限写像の存在との間の関係を確立すること。
• 特に弾性および幾何的収束において、非ユークリッド的設定を扱えるようにフレームワークを拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体間のリプシッツ写像が almost everywhere で等長的微分を持つとき、どのような条件下で等長埋め込みとなるか？
• RQ2 共形写像の正則性理論に依存せずに、等長埋め込みの剛性を確立できるか？
• RQ3 微分が方向を保つ等長写像の集合に $L^p$ で収束する写像列の漸近的挙動は何か？
• RQ4 これらの剛性定理は、特に弾性モデルにおいて非ユークリッド幾何にどのように拡張できるか？
• RQ5 これらの定理はリーマン多様体の収束概念にどのような含意を持つのか？

主な発見

• 向き付けられたリーマン多様体 $M$ から $N$ へのリプシッツ写像 $f: M \to N$ が almost everywhere で方向を保つ等長的微分を持つならば、それは等長埋め込みである。
• 共形正則性理論に依存せずに、リーマン的文脈で一般化されたパイオラ恒等式を導入することで証明が可能となる。
• 写像列 $f_n: M \to N$ に対して、微分が方向を保つ等長写像の集合に $L^p$ で収束するならば、部分列が等長埋め込みに収束する。
• リウヴィルの共形写像に関する定理とレシュティニャクの剛性定理が、リーマン多様体へ一般化される。
• これらの定理は、等長変形が中心的役割を果たす非ユークリッド的弾性の解析に理論的基盤を提供する。
• フレームワークは、制御された微分を持つ写像列の挙動を通じて、リーマン多様体の収束の研究を支援する。