[論文レビュー] Asymptotic shape for the chemical distance and first-passage percolation in random environment

Olivier Garet, Régine Marchand|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2003

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ℤ^d$における上位確率ベルヌーイ確率場モデルの無限クラスタ上で最初の通過時間確率場の漸近的形状定理を確立し、再生化された湿った点の集合が確率1で、確率的環境に依存しない決定論的凸形状に収束することを証明する。この結果は、古典的な最初の通過時間確率場を確率的環境へと拡張し、平坦な辺の特徴付けと、確率場における化学的距離への応用を含む。

ABSTRACT

The aim of this paper is to generalize the well-known asymptotic shape result for first-passage percolation on $\Zd$ to first-passage percolation on a random environment given by the infinite cluster of a supercritical Bernoulli percolation model. We prove the convergence of the renormalized set of wet points to a deterministic shape that does not depend on the random environment. As a special case of the previous result, we obtain an asymptotic shape theorem for the chemical distance in supercritical Bernoulli percolation. We also prove a flat edge result. Some various examples are also given.

研究の動機と目的

• $ℤ^d$上のi.i.d.ケースからの最初の通過時間確率場の漸近的形状結果を、上位確率ベルヌーイ確率場の無限クラスタによって与えられる確率的環境へ一般化すること。
• 再生化された湿った点の集合が、空でない内部をもつ決定論的凸コンパクト形状に収束することを確立すること。
• 化学的距離における漸近的形状定理を、上位確率ベルヌーイ確率場の特別なケースとして証明すること。
• 特定の条件下で、漸近的形状に平坦な辺が存在するか、その性質を分析すること。
• モデルの一般性を示す例（指数的通過時間、相関付きカイ二乗分布、道路網モデルなど）を提供すること。

提案手法

• モデルは、上位確率ベルヌーイ確率場（確率的環境を定義）と、開辺上にi.i.d.または定常エルゴード的通過時間を組み合わせる。
• 解析は、基礎となる確率場プロセスからの要因写像を介して得られる、$ℤ^d$上での移動不変性とエルゴード性に基づく通過時間分布の性質を利用する。
• 本稿は、各方向における漸近的スピードの存在を示すために、部分加法的エルゴード理論を適用する。これにより連続性、斉次性、部分加法性が確立される。
• モーメント条件の下で、各方向における漸近的スピードが正であることを証明し、非退化な形状成長を保証する。
• 部分加法的エルゴード定理と無限クラスタの構造を用いて、ハウスドルフ位相における漸近的形状への収束を確立する。
• 方向的スピードの挙動を分析することで平坦な辺の結果を導出し、特定の条件下で特定の方向にスピードがゼロになる可能性があることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 上位確率場の無限クラスタ上で最初の通過時間確率場の再生化された湿った点の集合は、決定論的形状に確率1で収束するか？
• RQ2 極限形状は確率的環境に依存せず、その幾何的性質は何か？
• RQ3 漸近的形状定理は、上位確率ベルヌーイ確率場における化学的距離へ拡張可能か？
• RQ4 どのような条件下で漸近的形状に平坦な辺が現れ、これは通過時間分布にどのように依存するか？
• RQ5 非i.i.d.通過時間、例えば相関付きまたは裾の重い分布への結果の一般化は可能か？

主な発見

• 再生化された湿った点の集合$B_t^i / t$は、条件付き測度$\overline{\mathbb{P}}_i$の下で、確率1でハウスドルフ位相において、空でない内部をもつ決定論的凸コンパクト集合$A$に収束する。
• 極限形状$A$は確率的環境に依存せず、つまり無限クラスタや通過時間の特定の実現に依存しない。
• 上位確率ベルヌーイ確率場における化学的距離は、漸近的形状定理を満たし、再生化された距離集合が同じ決定論的形状$A$に収束する。
• 方向的スピードが特定の方向でゼロになる場合、漸近的形状に平坦な辺が存在する。これは、特定の通過時間分布または構造的制約の下で生じ得る。
• 通過時間分布$\eta^*_e$が移動に関して定常的かつエルゴード的であることが示され、部分加法的エルゴード理論を適用して漸近的スピードの存在を証明できる。
• n-型確率場で$f(i, \cdot)$が0および無限大から離れている場合、弱いモーメント条件の下で極限形状は非退化的かつ厳密に凸である。