[論文レビュー] Asymptotic solutions of the 1D nonlocal Fisher-KPP equation

А. В. Шаповалов, A. Yu. Trifonov|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2014

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、微生物集団におけるパターン形成をモデル化する1次元非局所Fisher-KPP方程式の解の近似を目的として、2つの解析的手法—WKB-Maslov理論に基づく半古典的漸近解析と、大時間における摂動的漸近解析—を開発した。半古典的アプローチにより、有限時間区間で有効な可算個の一次漸近解の族が得られ、大時間における手法では、準定常解上での微小摂動を用いてマルチモーダルなパターン形成を捉えることができる。

ABSTRACT

Two analytical methods have been developed for constructing approximate solutions to a nonlocal generalization of the 1D Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation. This equation is of special interest in studying the pattern formation in microbiological populations. In the greater part of the paper, we consider in detail a semiclassical approximation method based on the WKB-Maslov theory under the supposition of weak diffusion. The semiclassical asymptotics are sought in a class of trajectory concentrated functions. Such functions are localized in a neighborhood of a point moving in space. In terms of the semiclassical formalism developed, the original nonlinear equation is reduced to an associated linear partial differential equation and some algebraic equations for the coefficients of the linear equation with a given accuracy of the asymptotic parameter. The solutions of the nonlinear equation are constructed from the solutions of both the linear equation and the algebraic equations. A countable family of the leading terms of the semiclassical asymptotics is constructed in explicit form. The semiclassical asymptotics are valid by construction in a finite time interval which can be small in the sense that a pattern has no time to form in this interval. In the final part of the paper, we have constructed asymptotics which are different from the semiclassical ones and can describe the evolution of the solutions of the Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation at large times. These asymptotics represent small perturbations on the background of an exact quasi-stationary solution. In the example considered, an initial unimodal distribution becomes multimodal, which can be treated as pattern formation.

研究の動機と目的

• 微生物集団におけるパターン形成をモデル化する非局所Fisher-KPP方程式に対する解析的近似手法の開発。
• 弱い拡散を有する非局所的非線形偏微分方程式へ、WKB-Maslov理論に基づく半古典的漸近技法の拡張。
• パターンが完全に形成されていない有限時間区間で有効な解の構築。
• 初期条件が単一モードである場合に、マルチモーダルなパターンの出現を記述する漸近解析の導出。
• 短期的および長期的時間領域における一次漸近解の明示的で解析的な表現の提供。

提案手法

• WKB-Maslov半古典的形式的体系を用いて、非線形非局所Fisher-KPP方程式を関連する線形偏微分方程式および係数に関する代数方程式に還元する。
• 空間内の移動する点の周辺に局在化する軌道集中関数のクラスの解を求めることで、局所的集団動態をモデル化する。
• 与えられた小パラメータにおける漸近的精度を満たす半古典的枠組みを用いて、可算個の一次漸近解の族を構築する。
• 大時間においては、正確な準定常解からの微小なずれとして摂動的漸近解を導出し、長期的パターン進化を捉える。
• 得られた漸近展開を用いて、単一モードからマルチモーダル分布への過渡的変化を分析する。
• 半古典的漸近解が、その期間中にパターン形成が観察されないことに整合する有限時間区間で有効であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い拡散を有する非局所Fisher-KPP方程式に対して、半古典的漸近手法をどのように適用できるか。
• RQ2 半古典的領域における一次漸近解の構造は何か。また、それらは線形方程式と代数方程式からどのように構成されるか。
• RQ3 半古典的近似は、パターン形成が発生する前までの解の進化を記述できるか。
• RQ4 長時間における解の進化はどのように進行し、マルチモーダル分布の出現に至るメカニズムは何か。
• RQ5 準定常解は、非局所Fisher-KPP方程式の長時間漸近的挙動において、どのような役割を果たすか。

主な発見

• 軌道集中関数を用いて、可算個の一次半古典的漸近解が明示的に構築された。
• 半古典的漸近解は、その期間中にパターン形成が観察されないことに整合する有限時間区間で有効である。
• この手法により、元の非線形非局所偏微分方程式が線形偏微分方程式および係数に関する代数方程式に還元され、体系的な近似が可能になった。
• 大時間において、漸近解は準定常解上での微小摂動を通じてマルチモーダルパターンの出現を記述する。
• 初期の単一モード分布からマルチモーダルな分布への過渡的変化が解析的に捉えられ、長期的領域におけるパターン形成が示された。
• 漸近解は、微生物集団における一時的ダイナミクスと長期的空間的組織化の理解のためのフレームワークを提供する。