[論文レビュー] Asymptotic Spectral Formula for Empirical Measures of Diffusion Processes on Riemannian Manifolds

Feng‐Yu Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリーマン多様体上の拡散過程の経験測度とその不変測度の間の期待二乗 Wasserstein 距離について、漸近的スペクトル公式を確立する。収束速度は多様体の次元に依存する：d ≤ 3 の場合、極限は有限であり、中心極限定理が成り立つ。d ≥ 4 の場合、収束速度は t⁻²/(d−2) であり、生成子の固有値を含む明示的なスペクトル公式が得られる。

ABSTRACT

Let $M$ be a compact connected Riemannian manifold possibly with a boundary, let $V\in C^2(M)$ such that $\mu(d x):=e^{V(x)}d x$ is a probability measure, and let $\{\lambda_i\}_{i\ge 1} $ be all non-trivial eigenvalues of $-L$ with Neumann boundary condition if the boundary exists. Then the empirical measures $\{\mu_t\}_{t>0}$ of the diffusion process generated by $L$ (with reflecting boundary if the boundary exists) satisfy $$ \lim_{t o \infty} \big\{t \mathbb E^x [W_2(\mu_{t},\mu)^2]\big\}= \sum_{i=1}^\infty\frac 2 {\lambda_i^2} ext{ uniformly } x\in M,$$ where $\mathbb E^x$ denotes the expectation for the diffusion process starting at point $x$, $W_2$ is the $L^2$-Warsserstein distance induced by the Riemannian metric. The limit is finite if and only if $d\le 3$, and in this case we derive the following central limit theorem: $$\lim_{t o\infty} \sup_{x\in M} \Big|\mathbb P^x(t W_2(\mu_{t},\mu)^2<a)- \mathbb P\Big( \sum_{k=1}^\infty \frac{2\xi_k^2}{\lambda_k^2}<a\Big)\Big|=0, \ a\ge 0,$$ where $\mathbb P^x$ is the probability with respect to $\mathbb E^x$, and $\{\xi_k\}_{k\ge 1}$ are i.i.d. standard Gaussian random variables. Moreover, when $d\ge 4$ we prove that the main order of $\mathbb E^x[W_2(\mu_{t},\mu)^2]$ is $t^{-\frac 2 {d-2}}$ as $t o\infty$. Moreover, when $d\ge 4$ the main order of $\mathbb E^x[W_2(\mu_{t},\mu)^2]$ is $t^{-\frac 2 {d-2}}$ as $t o\infty$. The main result is extended to modified empirical measures of the diffusion process on a class of non-compact Riemannian manifolds with or without boundary.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体上での拡散過程の経験測度とその不変測度の間の期待二乗 L²-Wasserstein 距離の漸近的公式を導出すること。
• Neumann境界条件を伴う生成子 L のスペクトルを用いて、経験測度の不変測度への収束速度を特徴付けること。
• 低次元（d ≤ 3）における Wasserstein 距離の中心極限定理を確立し、高次元（d ≥ 4）における主要項の漸近的挙動を特定すること。
• 境界の有無を問わず、非コンパクトなリーマン多様体のクラスへ結果を拡張すること。
• 拡散生成子のスペクトル的性質を用いて、経験測度の長時間挙動を次元に依存する形で特徴付けること。

提案手法

• コンパクトなリーマン多様体 M 上で Neumann 境界条件を伴う生成子 $-L$ のスペクトル分解を用いて、Wasserstein 距離の漸近的挙動を表現すること。
• リーマン計量によって誘導される $L^2$-Wasserstein 距離 $W_2$ を用いて、経験測度と不変測度の乖離を定量化すること。
• 非自明な固有値 $\lambda_i$ を持つ $-L$ に対して、$\lim_{t \to \infty} t \mathbb{E}^x[W_2(\mu_t, \mu)^2] = \sum_{i=1}^\infty \frac{2}{\lambda_i^2}$ が $x \in M$ に関して一様に成り立つことを導出すること。
• 低次元 $d \leq 3$ における中心極限定理の証明として、$t W_2(\mu_t, \mu)^2$ の分布収束を、独立同分布の標準正規確率変数 $\xi_k$ を含むスケーリングされた $\chi^2$-分布変数の和に示すこと。
• スペクトルの減衰と次元依存推定を用いて、$d \geq 4$ の場合の主要項の漸近的挙動 $\mathbb{E}^x[W_2(\mu_t, \mu)^2] \sim c \cdot t^{-2/(d-2)}$ を特定すること。
• ポテンシャルおよび曲率に関する適切な幾何学的・解析的仮定の下で、非コンパクトリーマン多様体上での修正経験測度への結果の拡張。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリーマン多様体上での拡散過程について、$t \to \infty$ のときの期待二乗 Wasserstein 距離 $\mathbb{E}^x[W_2(\mu_t, \mu)^2]$ の漸近的挙動は何か？
• RQ2 多様体の次元 $d$ は、Wasserstein 距離の観点から経験測度の不変測度への収束速度にどのように影響を与えるか？
• RQ3 長時間極限において、スケーリングされた Wasserstein 距離の中心極限定理が成り立つ条件は何か？
• RQ4 $d \geq 4$ のとき、$\mathbb{E}^x[W_2(\mu_t, \mu)^2]$ の主要項の漸近的挙動は何か？
• RQ5 スペクトル公式と収束結果は、境界の有無を問わず非コンパクトリーマン多様体へ拡張可能か？

主な発見

• 非自明な固有値 $\lambda_i$ を持つ $-L$ に対して、$x \in M$ に関して一様に $\lim_{t \to \infty} t \mathbb{E}^x[W_2(\mu_t, \mu)^2] = \sum_{i=1}^\infty \frac{2}{\lambda_i^2}$ が成り立つ。
• この極限が有限であるのは、次元 $d \leq 3$ のときに限る。これは収束挙動における根本的な次元依存閾値を示している。
• d ≤ 3 の場合、中心極限定理が成り立つ：$\sup_{x \in M} \left| \mathbb{P}^x(t W_2(\mu_t, \mu)^2 < a) - \mathbb{P}\left( \sum_{k=1}^\infty \frac{2\xi_k^2}{\lambda_k^2} < a \right) \right| \to 0$ が $t \to \infty$ のとき成り立つ。ここで $\xi_k$ は独立同分布の標準正規確率変数である。
• d ≥ 4 の場合、$\mathbb{E}^x[W_2(\mu_t, \mu)^2]$ の主要項の漸近的挙動は $t^{-2/(d-2)}$ であり、これは高次元における収束の遅さを定量化する。
• 適切な幾何学的およびポテンシャル的条件の下で、スペクトル公式と収束結果は、境界の有無を問わず非コンパクトリーマン多様体上での修正経験測度へ拡張可能である。
• 本結果は、生成子 $L$ のスペクトル的性質、多様体の幾何学、および Wasserstein 距離における経験測度の長時間収束速度との間の明確な関係を確立する。