[論文レビュー] Asymptotic state lumping in transport and diffusion problems on networks

Jacek Banasiak, Aleksandra Falkiewicz+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ネットワーク上の詳細なミクロスケール輸送・拡散モデルを簡略化されたマクロスケールモデルに集約するためのきめ細やかな漸近的フレームワークを提案する。高速な内部ダイナミクス（拡散／輸送）がエッジ上で発生し、ノード間の交換が遅い場合、解が通常微分方程式で記述される低次元系に収束することを示している。主な貢献は、集約されたダイナミクスが元のマクロスケールモデルと漸近的に一致することの証明であり、安定分布ベクトルを通じてネットワーク構造が極限において保持されることを示している。

ABSTRACT

One of the aims of systems biology is to build multiple layered and multiple scale models of living systems which can efficiently describe phenomena occurring at various level of resolution. Such models should consist of layers of various microsystems interconnected by a network of pathways, to form a macrosystem in a consistent way; that is, the observable characteristics of the macrosystem should be, at least asymptotically, derivable by aggregation of the appropriate features of the microsystems forming it, and from the properties of the network. In this paper we consider a general macromodel describing a population consisting of several interacting with each other subgroups, with the rules of interactions given by a system of ordinary differential equations, and we construct two different micromodels whose aggregated dynamics is approximately the same as that of the original macromodel. The micromodels offer a more detailed description of the original macromodel's dynamics by considering an internal structure of each subgroup. Here, each subgroup is represented by an edge of a graph with diffusion or transport occurring along it, while the interactions between the edges are described by interface conditions at the nodes joining them. We prove that with an appropriate scaling of such models, roughly speaking, with fast diffusion or transport combined with slow exchange at the nodes, the solutions of the micromodels are close to the solution to the macromodel.

研究の動機と目的

• ネットワーク上の詳細なミクロスケールモデルを簡略化されたマクロスケールモデルに集約するための数学的フレームワークを開発すること。
• 異なる時間スケールで発生するプロセスが顕著に異なる、システム生物学におけるマルチスケールダイナミクスの課題に対処すること。
• ネットワークのエッジ上で発生する高速な内部ダイナミクスが、状態の有効な集約をもたらし、極限においてもネットワーク構造が保持されることを示すこと。
• 内部構造を持つミクロモデルがマクロスケールODE系に収束するための条件を確立すること。
• グラフ上での輸送および拡散の文脈において「漸近的状態の統合」の概念を形式化すること。

提案手法

• 相互に接続されたサブグループ間の集団ダイナミクスを記述するODE系としてマクロスケール系をモデル化する。
• 各サブグループをグラフのエッジとして表現するミクロモデルを構築し、各エッジにおける輸送または拡散ダイナミクスをPDEで記述する。
• ノード間の交換レートをスケーリングする小さなパラメータ ǫ を導入し、エッジ上の内部ダイナミクスよりも著しく遅いと仮定する。
• 半群理論とスペクトル解析を用いてミクロモデルの長期的挙動を分析する。
• 漸近的解析を適用し、ミクロモデル解をスロー多様体に射影したものが、マクロスケールODE解に収束することを示す。
• Perron-Frobenius理論を活用して、安定分布ベクトル N を特徴づけ、これが各エッジにおける質量の漸近的割合を符号化していることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部構造を持つミクロモデルが、ネットワーク上でどのようにして簡略化されたマクロスケールODEモデルに収束するか。
• RQ2 内部状態の集約が行われるにもかかわらず、極限においてネットワークトポロジーはどのように保持されるか。
• RQ3 遷移行列のPerron固有ベクトルが、漸近的集約プロセスにおいて果たす役割は何か。
• RQ4 ノード間の交換が遅い場合、エッジ上の輸送および拡散プロセスを有効に1つのマクロスケールODE系に統合できるか。
• RQ5 初期層の挙動は、ミクロモデル解がマクロスケール解に収束するのにどのように影響を与えるか。

主な発見

• ǫ → 0 のとき、ミクロモデル解をスロー多様体に射影したものが、マクロスケールODE解に収束する。
• ネットワーク全体における質量の漸近的分布は、遷移行列 K のPerron固有ベクトル N によって決定され、これが安定したパッチ分布を符号化している。
• 集約されたマクロスケールモデル (85) は、パッチ固有のレートの重み付き平均である係数 µ∗ および β∗ を通じて、元のネットワーク構造の影響を保持している。
• ミクロモデルにおける初期層挙動は指数的減衰を示さないため、過渡ダイナミクスが非自明であり、漸近的解析において考慮すべきであることが示された。
• エッジ上での輸送または拡散を用いて構築されたミクロモデルは、元のODE系と同一の漸近的マクロスケールダイナミクスを示し、統合手順の妥当性が裏付けられた。
• 収束は半群理論とスペクトル解析を用いて確立され、スローなダイナミクスが射影作用素 P の核に支配されることを示した。