[論文レビュー] Asymptotic symmetry and local behavior of solutions of higher order conformally invariant equations with isolated singularities

Tianling Jin, Jingang Xiong|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 45被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、有界領域における孤立特異点をもつ高次の共形不変方程式の正の解について、鋭い爆発レートと漸近的径対称性を確立する。局所積分方程式に対する爆発解析を用いて、Caffarelli-Gidas-Spruckの定理を高次の方程式へ拡張し、特異点近傍における解が正確な減衰レートと径対称性を示すことを証明する。低次の誤差項を除いて、Fowler解に類似した挙動を示す。

ABSTRACT

We prove sharp blow up rates of solutions of higher order conformally invariant equations in a bounded domain with an isolated singularity, and show the asymptotic radial symmetry of the solutions near the singularity. This is an extension of the celebrated theorem of Caffarelli-Gidas-Spruck for the second order Yamabe equation with isolated singularities to higher order equations. Our approach uses blow up analysis for local integral equations, and is unified for all critical elliptic equations of order smaller than the dimension. We also prove the existence of Fowler solutions to the global equations, and establish a sup*inf type Harnack inequality of Schoen for integral equations.

研究の動機と目的

• 2階ヤマベ方程式に対する古典的Caffarelli-Gidas-Spruckの定理が、高次の共形不変方程式へ拡張されることを目的とする。
• 有界領域における孤立特異点近傍での正の解の爆発レートに対する鋭い上界および下界を確立すること。
• 孤立特異点近傍における解が、低次の誤差項を除いて漸近的に径対称的であることを証明すること。
• グローバルな高次方程式に対してFowler型解の存在を示し、積分方程式に対してsup*inf型のハーナック不等式を確立すること。
• すべての臨界楕円型方程式（次元未満の次数）を統一的に扱う枠組みを、積分方程式と爆発解析に基づいて構築すること。

提案手法

• 孤立特異点近傍における解の挙動を調べるために、局所積分方程式に対する爆発解析を用いる。
• ケルビン変換を用いて共形不変性を保ち、逆変換下での解の構造を分析する。
• 反復ラプラシアンの符号条件の下で最大原理および動平面法を適用し、径対称性を保証する。
• モデル解（Fowler解）との比較と球面平均を用いて、鋭い減衰推定を得る。
• グリーン関数および境界層の挙動に対する精密な推定を通じて、Schoen型のsup*inf型ハーナック不等式を積分方程式に対して確立する。
• 積分推定と組み合わせた動平面法を用いて、特異点近傍における解の径対称性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界領域における孤立特異点をもつ高次の共形不変方程式の正の解の鋭い爆発レートは何か？
• RQ2 2階の場合を超えて、高次の方程式において、孤立特異点近傍における解の漸近的径対称性はどの程度保持されるか？
• RQ3 グローバルな高次の共形不変方程式に対してFowler解を構成可能か？また、その特異挙動の特徴付けにおける役割は何か？
• RQ4 高次の共形不変方程式から生じる積分方程式に対して、sup*inf型ハーナック不等式をどのように確立できるか？
• RQ5 反復ラプラシアンの符号仮定が特異点近傍で成立する条件は何か？また、それらは解構造にどのように影響するか？

主な発見

• $(-\triangle)^m u = u^{(n+2m)/(n-2m)}$ が $B_1 \setminus \{0\}$ において $1 \leq m < n/2$ を満たすとき、原点近傍で鋭い評価 $C^{-1}|x|^{-(n-2m)/2} \leq u(x) \leq C|x|^{-(n-2m)/2}$ を満たす。
• 解は漸近的に径対称的である：$x \to 0$ のとき $u(x) = \bar{u}(|x|)(1 + O(|x|))$ であり、ここで $\bar{u}$ は球面平均を表す。
• 除去不能な特異点に対して、ある $\alpha > 0$ に対して $u(x) = u^*(|x|)(1 + O(|x|^{\alpha}))$ を満たすFowler解 $u^*$ が存在する。
• 与えられた仮定の下で、特異点の穴あき近傍において、$(-\triangle)^k u \geq 0$（$k=1,\dots,m-1$）の符号条件が保たれる。
• 積分形式の方程式に対して、Schoenのタイプのsup*inf型ハーナック不等式が確立された。
• 解析は、すべての次元未満の臨界楕円型方程式に一様に適用可能であり、高次の共形不変方程式を統一的に扱う枠組みを提供する。