[論文レビュー] Asymptotic tail behavior of phase-type scale mixture distributions

Leonardo Rojas‐Nandayapa, Wangyue Xie|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2015

Probability and Risk Models参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、位相型スケーリング混合分布（位相型確率変数と非負のスケーリング確率変数の積として定義される）の漸近的尾部挙動を調査し、軽尾または重尾挙動、スブエクスポネンシャル性、および最大吸引域の条件を提供する。離散的スケーリング分布が重尾分布の取り扱いやすい近似を可能にし、尾部挙動がスケーリング分布の台および尾部特性と密接に関連していることが示された。

ABSTRACT

We consider phase-type scale mixture distributions which correspond to distributions of a product of two independent random variables: a phase-type random variable $Y$ and a nonnegative but otherwise arbitrary random variable $S$ called the scaling random variable. We investigate conditions for such a class of distributions to be either light- or heavy-tailed, we explore subexponentiality and determine their maximum domains of attraction. Particular focus is given to phase-type scale mixture distributions where the scaling random variable $S$ has discrete support --- such a class of distributions has been recently used in risk applications to approximate heavy-tailed distributions. Our results are complemented with several examples.

研究の動機と目的

• 位相型スケーリング混合分布の尾部挙動を理解すること、特にスケーリング分布の性質との関係を明らかにすること。
• このような混合分布が軽尾または重尾である条件を特定し、その最大吸引域を分類すること。
• リスクモデリングにおける重尾分布の近似に離散的スケーリング分布を用いる理論的根拠を提供すること。
• スケーリング分布の尾部に基づいて、混合分布の尾部に対する漸近的近似を確立すること。
• 位相型スケーリング混合分布における分布的性質とモデリング選択の関連を示し、保険およびリスク理論における実用的応用を支援すること。

提案手法

• メリン–シュチールチェス畳み込みを用いて、$ F(x) = \int_0^\infty G(x/s) \, dH(s) $ と定義される位相型スケーリング混合分布を定式化する。ここで $ G $ は位相型分布、$ H $ はスケーリング分布である。
• ブライマンの補題を適用し、特に $ H $ が正則変動尾を持つ場合に混合分布の尾部に対する漸近的近似を導出する。
• 離散的スケーリング分布のケースを分析する際、収束が速い無限級数が得られるように、台を幾何級数にモデル化する。
• 生存関数 $ \overline{F}(x) $ の漸近的バウンダリーおよび近似式を導出し、特定のモーメント条件のもとで $ \overline{H}(x) $ に比例することを示す。
• ラプラス変換および行列指数表現を用いて、位相型成分の尾部挙動を分析する。
• スケーリング分布 $ H $ がスブエクスポネンシャルで、$ G $ が有限モーメントを持つ場合に、混合分布が $ H $ からスブエクスポネンシャル性を継承する条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケーリング分布 $ H $ がどのような条件下で位相型スケーリング混合分布が重尾的となるか。
• RQ2 特に幾何級数的サポートを持つ離散的サポートの選択が、混合分布の尾部近似にどのように影響するか。
• RQ3 位相型スケーリング混合分布の最大吸引域とは何か。また、スケーリング分布とどのように関連しているか。
• RQ4 離散的 $ H $ を持つ位相型スケーリング混合分布が、正則変動型またはワイブル型分布と同等の漸近的尾部挙動を達成できるか。
• RQ5 ruin確率モデルにおける重尾的損害額分布の近似にこのような混合分布を用いる理論的根拠は何か。

主な発見

• スケーリング分布 $ H $ が非有界な台と正則変動尾を持つ場合、位相型スケーリング混合分布は重尾的である。
• スケーリング分布 $ H $ が指数 $ -\alpha $ の正則変動尾を持つ場合、混合分布の尾部 $ \overline{F}(x) $ は $ \overline{H}(x) $ に漸近的に比例し、$ G $ のモーメント生成関数を含む定数係数が付加される。
• 幾何的サポートを持つ離散的スケーリング分布では、無限級数表現が迅速に収束し、実用的な数値計算および切り捨てが可能になる。
• 漸近的近似 $ \overline{F}(x) \approx \frac{1 - e^{-\alpha/K}}{\alpha/K} M_G(\alpha) \overline{H}(x) $ は理論的バウンダリーと整合性があり、$ G $ におけるモーメント条件のもとで成立する。
• $ G $ が有限モーメントを持ち、$ H $ がスブエクスポネンシャルである場合、混合分布のスブエクスポネンシャル性は $ H $ から継承され、尾部が i.i.d. 成分の最大値によって支配されることを保証する。
• スケーリング分布 $ H $ の幾何的離散化手法により、Pareto などの重尾分布の正確で計算効率の良い近似が ruin 確率モデルにおいて可能になる。