[論文レビュー] Asymptotic tail properties of the distributions in the class of dispersion models

Alexandre B. Simas, Gauss M. Cordeiro+1 more|ArXiv.org|Sep 10, 2008

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、小分散漸近における分散モデルの漸近的尾部性質を確立し、Finnerら（2008）の結果を拡張して、標準化された確率変数の密度が、単位分散関数の高階微分に依存する補正因子を伴う正規密度に収束することを証明している。主な貢献は、一様収束性の仮定の下で、von Mises、Leipnik、一般化逆ガウス分布を含む広範な種類の適正分散モデルに対する鞍点近似の一般化である。

ABSTRACT

The class of dispersion models introduced by Jørgensen (1997b) covers many known distributions such as the normal, Student t, gamma, inverse Gaussian, hyperbola, von-Mises, among others. We study the small dispersion asymptotic (Jørgensen, 1987b) behavior of the probability density functions of dispersion models which satisfy the uniformly convergent saddlepoint approximation. Our results extend those obtained by Finner et al. (2008).

研究の動機と目的

• Finner ら（2008）の小分散漸近に関する結果を指数型分布族に限らないより広いクラスの分散モデルへ拡張すること。
• 分散パラメータ σ² → 0 の下での分散モデルにおける標準化変数の密度の漸近的挙動を分析すること。
• 鞍点近似が一様収束するための条件を確立し、正確な尾部近似を可能にすること。
• 単位分散関数の3階および4階微分に基づいた、極限正規密度の明示的補正因子を導出すること。
• 特定の分布（例：von Mises、Leipnik、一般化逆ガウス分布）を検討し、収束速度および補正項を計算すること。

提案手法

• 単位分散関数 d(y;μ) を用いて、確率密度 f(y;μ,σ²) = a(y;σ²)exp{−½σ⁻²d(y;μ)} で定義される分散モデル DM(μ,σ²) を定式化する。
• 一様収束性を満たす鞍点近似を適用する：σ² → 0 の下で f(y;μ,σ²) ∼ {2πσ²V(y)}⁻¹ᐟ²exp{−½σ⁻²d(y;μ)} となる。
• 分散関数 V(μ) = 2 / ∂²ₘᵤₘᵤd(μ;μ) を定義し、標準化変数の漸近的分散を支配する。
• μ=μ₀ における d(y;μ) の3階および4階微分を用いて、極限密度比 f(xσ)/φ(xσ;0,V(μ₀)) → exp(β/24) または類似の式を導出する。
• 定理2〜4を適用し、β = ∂³ₘᵤₘᵤₘᵤd(μ₀;μ₀) および高階微分を含む補正因子を計算する。
• 具体的なモデル（von Mises、Leipnik、変換済みLeipnik、修正された3パラメータ一般化逆ガウス分布）に対して結果を検証し、正確な補正項を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散パラメータ σ² が0に近づく際、分散モデルの尾部特性はどのように振る舞うか？
• RQ2 鞍点近似は適正分散モデルに一様に適用可能か？その漸近的正規性への影響は何か？
• RQ3 単位分散関数の高階微分が0または非ゼロの場合、極限密度にどのような補正因子が生じるか？
• RQ4 von Mises、Leipnik、一般化逆ガウス分布などの分布間で、収束速度および補正項はどのように異なるか？
• RQ5 Finner（2008）の正規近似に関する結果を指数型でない分散モデルへどの程度一般化できるか？

主な発見

• 任意の一様収束性を満たす鞍点近似を持つ分散モデルに対して、(Y−μ₀)/σ は σ²→0 の下で N(μ₀, V(μ₀)) に分布収束する。
• 単位分散関数の4階微分が非ゼロの場合、(X−μ₀)/σ の密度は、β = ∂⁴ₘᵤₘᵤₘᵤd(μ₀;μ₀) を用いて exp(β/24) の補正因子を伴う正規密度に収束する。
• von Mises分布では、補正因子は exp(β/24) で β = −2 であり、σ²→0 の下で f(xσ)/φ(xσ;0,1) → exp(−1/12) となる。
• Leipnik分布では、補正因子は exp{−βμ₀/(1−μ₀)²} で β = 12μ₀/(1−μ₀)² であり、λ→∞ の下で f(xσ)/φ(xσ;0,1−μ₀²) → exp{−βμ₀/(1−μ₀)²} となる。
• 変換済みLeipnik分布では、補正因子は exp{−β(2μ₀−1)/(12[μ₀(1−μ₀)]²)} で β = 6(2μ₀−1)/[μ₀(1−μ₀)]² であり、f(xσ)/φ(xσ;0,μ₀(1−μ₀)) → exp{−β(2μ₀−1)/(12[μ₀(1−μ₀)]²)} となる。
• 修正された3パラメータ一般化逆ガウス分布では、補正因子は exp{(3−a)β/(6μ₀³)} で β = −(6−2a)/μ₀³ であり、λ→∞ の下で f(xσ)/φ(xσ;0,μ₀²) → exp{(3−a)β/(6μ₀³)} となる。