[論文レビュー] Asymptotic translation lengths and normal generations of pseudo-Anosov monodromies for fibered 3-manifolds

Hyungryul Baik, Eiko Kin+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ファイバード双曲的3次元多様体における擬アノソフモノドロミーの曲線複体上の漸近的移動長を調査する。この長さの上界を $1/|\chi(S)|$ に比例する形で確立し、2次元スライスにおけるほとんどすべての原始的整数クラスにおいて、モノドロミーが写像類群を通常生成することを証明し、正規化された漸近的移動長がファイバード面に連続的に拡張されないことを、マジック多様体における反例によって示している。

ABSTRACT

Let $M$ be a hyperbolic fibered 3-manifold. We study properties of sequences $(S_{\alpha_n}, \psi_{\alpha_n})$ of fibers and monodromies for primitive integral classes in the fibered cone of $M$. The main tool is the asymptotic translation length $\ell_{\mathcal{C}} (\psi_{\alpha_n})$ of the pseudo-Anosov monodromy $ \psi_{\alpha_n}$ on the curve complex. We first show that there exists a constant $C>0$ depending only on the fibered cone such that for any primitive integral class $(S, \psi)$ in the fibered cone, $\ell_{\mathcal{C}} (\psi)$ is bounded from above by $C/|\chi(S)|$. We also obtain a moral connection between $\ell_{\mathcal{C}} (\psi)$ and the normal generating property of $\psi$ in the mapping class group on $S$. We show that for all but finitely many primitive integral classes $(S, \psi)$ in an arbitrary 2-dimensional slice of the fibered cone, $\psi$ normally generates the mapping class group on $S$. In the second half of the paper, we study if it is possible to obtain a continuous extension of normalized asymptotic translation lengths on the curve complex as a function on the fibered face. An analogous question for normalized entropy has been answered affirmatively by Fried and the question for normalized asymptotic translation length on the arc complex in the fully punctured case has been answered negatively by Strenner. We show that such an extension in the case of the curve complex does not exist in general by explicit computation for sequences in the fibered cone of the magic manifold.

研究の動機と目的

• ファイバード双曲的3次元多様体における擬アノソフモノドロミーの曲線複体上での漸近的挙動を理解すること。
• 正規化された漸近的移動長が、コーンのファイバード面に連続的に拡張可能かどうかを特定すること。
• 移動長とモノドロミーによる写像類群の通常生成性との関係を調査すること。
• ファイバードコーンの2次元スライスにおけるモノドロミーの構造的性質を確立すること。

提案手法

• 双曲的3次元多様体 $M$ のファイバードコーン内のファイバード構造の系列 $(S_{\alpha_n}, \psi_{\alpha_n})$ を分析する。
• 中心的な解析的道具として、$\psi_{\alpha_n}$ の曲線複体上での漸近的移動長 $\ell_{\mathcal{C}}(\psi_{\alpha_n})$ を用いる。
• トポロジー的および幾何学的技法を用いて、定数 $C$ がファイバードコーンにのみ依存するとき、$\ell_{\mathcal{C}}(\psi)$ を $C/|\chi(S)|$ で上から抑え込む。
• 写像類群論を用いて、特に2次元スライスにおいて、$\psi$ が $S$ 上で写像類群を通常生成する条件を分析する。
• マジック多様体のファイバードコーン内で、正規化された移動長の連続的拡張が成立しないことを示す明示的反例を構成する。
• エントロピーとアーク複体の挙動に関する既知の結果を用いて、曲線複体の場合と対比する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイバーファイルのオイラー特徴標数に関して、擬アノソフモノドロミーの漸近的移動長に対する一様な上界が存在するか？
• RQ2 ファイバードコーンの2次元スライスにおけるすべての原始的整数クラスのうち、有限個を除き、擬アノソフモノドロミー $\psi$ は写像類群を通常生成するか？
• RQ3 曲線複体上の正規化された漸近的移動長は、ファイバードコーンのファイバード面に連続的に拡張可能か？
• RQ4 完全に穴が空いた場合に、曲線複体上の移動長の挙動はアーク複体上の挙動とどのように対比されるか？
• RQ5 ファイバードコーンの幾何学的性質は、モノドロミー写像の漸近的力学にどのように寄与するか？

主な発見

• ファイバードコーンにのみ依存する定数 $C > 0$ が存在し、ファイバードコーン内のすべての原始的整数クラス $(S, \psi)$ に対して $\ell_{\mathcal{C}}(\psi) \leq C / |\chi(S)|$ が成り立つ。
• 任意の2次元スライスにおけるすべての原始的整数クラスのうち、有限個を除き、モノドロミー $\psi$ は $S$ 上で写像類群を通常生成する。
• 一般に、曲線複体上の正規化された漸近的移動長は、ファイバード面に連続的に拡張されない。
• マジック多様体のファイバードコーン内での明示的反例により、曲線複体の場合の連続的拡張の失敗が示された。
• これは、正規化されたエントロピー（Fried）の肯定的結果と、アーク複体（Strenner）の否定的結果と対照的であり、曲線複体設定では特異な挙動を示している。
• 結果として、モノドロミーの移動長が小さくなることは、写像類群内での強い代数的生成性と道徳的に関連していることが確立された。