[論文レビュー] Asymptotical behaviour of the presence probability in branching random walks and fragmentations

Jean Bertoin, Alain Rouault|ArXiv.org|Sep 28, 2004

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非可解な平均を伴う場合でさえも、劣臨界的な分岐的ランダムウォークおよび断片化において、存在確率と期待値の漸近的比例関係を確立する。離散時間の補助的ランダムウォークに対する大偏差解析を精緻化することで、先行研究における不自然な有限平均仮定を排除し、$d \geq 1$ および $X\log X$ 条件を満たす一般の産 offspring 分布に対して、$\lim_{n} \frac{\mathbb{P}(Z_n(na+I) \geq 1)}{\mathbb{E} Z_n(na+I)} = K(a) > 0$ が成り立つことを証明する。

ABSTRACT

For a subcritical Galton-Watson process $(ζ_n)$, it is well known that under an $X \log X$ condition, the quotient $P(ζ_n > 0)/ Eζ_n$ has a finite positive limit. There is an analogous result for a (one-dimensional) supercritical branching random walk: when $a$ is in the so-called subcritical speed area, the probability of presence around $na$ in the $n$-th generation is asymptotically proportional to the corresponding expectation. In Rouault (1993) this result was stated under a natural $X \log X$ assumption on the offspring point process and a (unnatural) condition on the offspring mean. Here we prove that the result holds without this latter condition, in particular we allow an infinite mean and a dimension $d \geq 1$ for the state-space. As a consequence the result holds also for homogeneous fragmentations as defined in Bertoin (2001), using the method of discrete-time skeletons; this completes the proof of Theorem 4 in Bertoin-Rouault (2004 see math/PR/0409545). Finally, an application to conditioning on the presence allows to meet again the probability tilting and the so-called additive martingale.

研究の動機と目的

• 分岐的ランダムウォークの劣臨界的な状態における産 offspring ポイント過程の制限的な有限平均仮定を除去すること。
• 分岐的ランダムウォークの漸近的存在確率結果を、$d \geq 1$ の一般次元および無限平均産 offspring 分布へと拡張すること。
• 離散時間スケルトン法を用いて、均一な断片化において結果の有効性を確立すること。
• 断片化過程における傾き確率に関する [7] の定理4の完全な証明を完成させること。

提案手法

• 存在確率と補助的ランダムウォークを結びつけるため、離散時間のフェファマン＝カック型表現を用いる。
• 補助的ウォークの機能的量に対する大偏差解析を適用し、漸近的推定を得る。
• サイズバイアスサンプリングおよび分解技術を用いて、分岐構造と条件付き期待値を扱う。
• 連続時間断片化の離散スケルトンを用いて、分岐的ランダムウォークから断片化過程への結果の拡張を行う。
• 優越収束定理を用いて、条件付き確率比の一様有界性を処理する。
• 存在事象の条件付きで $t \to \infty$ にした極限において、加法的マルティンゲールに従って極限の傾き確率測度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限産 offspring 平均を要件としない劣臨界的な状態において、漸近的比例関係 $\mathbb{P}(Z_n(na+I) \geq 1) \sim K(a) \cdot \mathbb{E} Z_n(na+I)$ が成立するか？
• RQ2 分岐的ランダムウォークの結果が、$X\log X$ 条件のみを満たす場合に $d \geq 1$ の一般次元へと拡張可能か？
• RQ3 産 offspring 平均が無限大である場合に、断片化における漸近的存在確率結果は有効か？
• RQ4 位置 $na$ における粒子の存在を条件づけることで、$t \to \infty$ の極限において加法的マルティンゲールおよび傾き確率測度がどのように得られるか？
• RQ5 離散スケルトンは、分岐的ランダムウォークと連続時間断片化をどのように結びつけるか？

主な発見

• $X\log X$ 条件のみを満たす場合に、$d \geq 1$ 全ての次元で、有限産 offspring 平均を要件としない、漸近的比例関係 $\lim_{n} \frac{\mathbb{P}(Z_n(na+I) \geq 1)}{\mathbb{E} Z_n(na+I)} = K(a) > 0$ が成り立つ。
• 離散スケルトン法を用いて、均一な断片化へと結果を拡張し、[7] の定理4の証明を完了する。
• $Z_t(at+I) \geq 1$ を条件づけると、$t \to \infty$ の極限で傾き確率測度 $\mathbb{P}^{(p)}$ が得られ、これは加法的マルティンゲール $M(p,s)$ による $h$-変換である。
• 条件付き確率と無条件確率比の極限が、ほとんど確実にマルティンゲール $M(s,p)$ に収束し、傾き測度への収束を確認する。
• 証明は、局所中心極限定理および $X\log X$ 積分可能性から得られる一様有界性を用いた、補助的ランダムウォークの精緻化された大偏差解析に依存する。
• 定数 $K(a)$ は正かつ有限であり、劣臨界的な状態において、存在確率が期待値と同じ指数的レートで減少することを保証する。