[論文レビュー] Asymptotically Affine and Asymptotically Conformal Circle Endomorphisms

Frederick P. Gardiner, Yunping Jiang|arXiv (Cornell University)|May 7, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、次数 $ m > 1 $ の任意の均一漸近的アフィン（UAA）な円周自己写像が、単位円周の近傍へ均一漸近的コンフォーマル（UAC）に拡張可能であることを証明している。ベアリング＝アーフォルス拡張とクアシシンメトリック歪み推定を用いて、反復において漸近的に1に均一収束する歪みを有するクアサイソムトニック拡張を構成することで、Teichmüller距離の下でUAC系が完備な距離空間をなすことが示された。

ABSTRACT

We show that every uniformly asymptotically affine circle endomorphism has a uniformly asymptotically conformal extension.

研究の動機と目的

• 次数 $ m > 1 $ の任意の均一漸近的アフィン（UAA）な円周自己写像に対して、均一漸近的コンフォーマル（UAC）拡張が存在することを確立すること。
• UAC円周自己写像の空間がTeichmüller距離の下で完備であること、すなわち既知のUAA系の完備性結果を拡張すること。
• ベアリング＝アーフォルス拡張が、逆写像の反復において漸近的コンフォーマル性を保つことの証明を行い、歪みが1に均一収束することを保証すること。
• 円周上のUAA力学を、単位円周の穴あき近傍におけるUAC力学へ持ち上げる構成的技法の提供すること。

提案手法

• UAA円周自己写像 $ f $ を、$ F(0) = 0 $ および $ F(x+1) = F(x)+m $ を満たす $ \mathbb{R} $ 上の次数$ m $被覆写像 $ F $ に上げる。
• 定理3を用いて、$ H \circ P \circ H^{-1} = F $ を満たす $ \mathbb{R} $ 上のクアシシンメトリックホメオモルフィズム $ H $ を構成する。ここで $ P(x) = mx $ である。
• ベアリング＝アーフォルス拡張を $ H $ に適用し、上半平面および下半平面へのクアサイソモーフィック拡張 $ \tilde{H} $ を得る。対称性と周期性を保つ。
• 線形写像 $ M: z \mapsto mz $ を用いて、$ \tilde{F} = \tilde{H} \circ M \circ \tilde{H}^{-1} $ を定義する。これにより $ \tilde{F} $ は移動 $ T(z) = z+1 $ と可換になることが保証される。
• スケーリングクアシシンメトリック歪み推定と消える関数 $ \epsilon(y) $ を用いて、Beltrami係数 $ \mu_{\tilde{F}^{-n}} $ を制御し、$ |\mu_{\tilde{F}^{-n}}(z)| \leq \epsilon(y) $ （$ n $ に依存しない）を満たすようにする。
• ベアリング＝アーフォルス拡張のアフィン不変性と $ \tilde{H} $ の周期性を活用し、$ \tilde{F} $ がリーマン面 $ \mathbb{C} \setminus \{0\} $ 上で適切に定義されたUAC写像 $ \tilde{f} $ を誘導することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の均一漸近的アフィンな円周自己写像は、単位円周の近傍で均一漸近的コンフォーマル写像に拡張可能か？
• RQ2 逆写像の反復において、ベアリング＝アーフォルス拡張は漸近的コンフォーマル性を保つか？
• RQ3 均一漸近的コンフォーマルな円周自己写像の空間は、Teichmüller距離の下で完備か？
• RQ4 クアシシンメトリック歪みにどのような条件を課すと、拡張写像における歪みの1への均一収束が保証されるか？

主な発見

• 次数 $ m > 1 $ の任意の均一漸近的アフィン（UAA）な円周自己写像は、単位円周の穴あき近傍へ均一漸近的コンフォーマル（UAC）に拡張可能である。
• UAC拡張は、クアシシンメトリックな共役写像 $ H $ のベアリング＝アーフォルス拡張を用いて構成され、拡張写像 $ \tilde{F} $ が $ \tilde{F} \circ T = T^m \circ \tilde{F} $ を満たすことが保証される。
• $ \tilde{F}^{-n} $ のBeltrami係数は、$ n $ に依存しない消える関数 $ \epsilon(y) $ を用いて $ |\mu_{\tilde{F}^{-n}}(z)| \leq \epsilon(y) $ と抑えられ、漸近的コンフォーマル性が示される。
• 構成されたUAC系 $ \tilde{f} $ は、単位円周上で元のUAA写像 $ f $ に制限され、動的持ち上げが確立される。
• UAC円周自己写像の空間は、UAA Teichmüller空間の完備性とUAC拡張の存在性の結果から、Teichmüller距離の下で完備である。
• 証明は、スケーリングクアシシンメトリック歪み関数 $ \rho_H(x,y,k) $ の制御と、それらの反復における収束性に依存し、逆写像の歪みに対する一様な上界が得られる。