[論文レビュー] Asymptotically compatible meshfree discretization of state-based peridynamics for linearly elastic composite materials

Nathaniel Trask, Benjamin Huntington+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2019

Numerical methods in engineering参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非局所的ホライズンとグリッド間隔を同時に縮小する際に古典的弾性論が一貫して回復されることを保証するように、状態に基づくペリダイナミクスにおける非局所的拡張率定義を修正することにより、線形弾性複合材料に対する漸近的適合性を持つメッシュフリーな離散化を提示する。この手法は、ディリクレ問題に対して2次収束を達成し、曲線状の自由表面および複合材料に対しては1次収束を示すとともに、物性モデルを変更せずに表面効果を完全に除去する。

ABSTRACT

State-based peridynamic models provide an important extension of bond-based models that allow the description of general linearly elastic materials. Meshfree discretizations of these nonlocal models are attractive due to their ability to naturally handle fracture. However, singularities in the integral operators have historically proven problematic when seeking convergent discretizations. We utilize a recently introduced optimization-based quadrature framework to obtain an asymptotically compatible scheme able to discretely recover local linear elasticity as the nonlocal interaction is reduced at the same rate as the grid spacing. By introducing a correction to the definition of nonlocal dilitation, surface effects for problems involving bond-breaking and free surfaces are avoided without the need to modify the material model. We use a series of analytic benchmarks to validate the consistency of this approach, illustrating second-order convergence for the Dirichlet problem, and first-order convergence for problems involving curvilinear free surfaces and composite materials. We additionally illustrate that these results hold for material parameters chosen in the near-incompressible limit.

研究の動機と目的

• 非局所的ホライズンとグリッド間隔を同時に小さくする際、古典的線形弾性論に漸近的に回復するメッシュフリーな状態ベースペリダイナミクスの離散化を開発すること。
• 自由表面および物性界面付近における特異的積分項と表面効果の課題に対処すること。
• 不連続なラメ定数（特に一様でない場合）を持つ複合材料に対して、一貫性と収束性を保証すること。
• 物性モデルを変更せずに、人工的境界補正を排除するため、拡張率定義を修正することにより、不適切な剛性増強を回避すること。

提案手法

• 高精度な非局所積分作用素の離散化に、最適化に基づく数値積分（OBQ）フレームワークを採用する。
• 境界および界面で離散的発散が局所的発散に収束するよう、非局所的拡張率の修正定義を導入する。
• コンパクトにサポートされたカーネルを用いたメッシュフリーコロケーション法を採用し、不連続性および破壊を自然に扱う。
• 機械精度に達する一貫性を検証するため、パッチテストを実施し、基本的な収束基準を満たしていることを保証する。
• 非一様なメッシュ配分下でのロバストネスを評価するため、均一および摂動付きの粒子配置を用いて検証する。
• ディリクレ問題、自由表面、複合材料に対して既知の解析解を有するベンチマークを用いて、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態ベースペリダイナミクスのメッシュフリー離散化は、不連続な材料特性を有する線形弾性複合材料において、非局所的ホライズンとグリッド間隔を同時に小さくする際、漸近的適合性を達成できるか？
• RQ2 修正された拡張率定義は、自由表面および結合破壊を伴う問題における収束性と表面効果にどのように影響を与えるか？
• RQ3 ポisson比が約0.5に近い近い不可縮縮材料条件下でも、本手法は漸近的適合性を維持するか？
• RQ4 曲線状の自由表面および複合界面を含む問題における収束速度はどの程度か？
• RQ5 本手法は非一様な粒子配置に対してロバストであるか、それとも完全な漸近的適合性を達成するには構造的直交グリッドを必要とするか？

主な発見

• 均一な直交グリッド上でのディリクレ問題において、ルート平均二乗（RMS）ノルムで2次収束が達成された。
• 曲線状の自由表面および複合材料を含む問題においても、近い不可縮縮状態下であっても1次収束が観察された。
• 圧縮性材料（ν = 0.25）では、均一および摂動付きグリッドの両方で漸近的適合性が維持されたが、非一様グリッドでは収束が約10⁻⁴の精度で停止した。
• 近い不可縮縮材料（ν = 0.49）では、均一グリッド上では収束が維持されたが、摂動付きグリッドでは収束が劣化したため、整然とした配置が求められることが示された。
• 64²解像度で、剪断率比μ₂/μ₁ ∈ {2⁻⁸, 2⁸} の広い範囲において、解析解を高精度に再現した。
• 修正された拡張率定義により、物性モデルを変更せずに表面効果が完全に除去された。これは、従来の手法が人工的境界剛性を追加していたのとは対照的である。