[論文レビュー] Asymptotically compatible reproducing kernel collocation and meshfree integration for nonlocal diffusion

Yu Leng, Xiaochuan Tian+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2019

Numerical methods in engineering参考文献 38被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ディリクレ境界条件を伴う非局所拡散問題に対して、漸近的に適合する再生核（RK）コロケーション法を提示する。メッシュフリーな積分を、準離散的非局所作用素を用いて実装することで計算コストを低減する。このスキームは、ホライズン δ とメッシュサイズ h が結合されている場合でも、非局所および局所拡散極限の両方に安定かつ収束することが理論的に保証され、2次元における数値的検証によって裏付けられる。

ABSTRACT

Reproducing kernel (RK) approximations are meshfree methods that construct shape functions from sets of scattered data. We present an asymptotically compatible (AC) RK collocation method for nonlocal diffusion models with Dirichlet boundary condition. The scheme is shown to be convergent to both nonlocal diffusion and its corresponding local limit as nonlocal interaction vanishes. The analysis is carried out on a special family of rectilinear Cartesian grids for linear RK method with designed kernel support. The key idea for the stability of the RK collocation scheme is to compare the collocation scheme with the standard Galerkin scheme which is stable. In addition, there is a large computational cost for assembling the stiffness matrix of the nonlocal problem because high order Gaussian quadrature is usually needed to evaluate the integral. We thus provide a remedy to the problem by introducing a quasi-discrete nonlocal diffusion operator for which no numerical quadrature is further needed after applying the RK collocation scheme. The quasi-discrete nonlocal diffusion operator combined with RK collocation is shown to be convergent to the correct local diffusion problem by taking the limits of nonlocal interaction and spatial resolution simultaneously. The theoretical results are then validated with numerical experiments. We additionally illustrate a connection between the proposed technique and an existing optimization based approach based on generalized moving least squares (GMLS).

研究の動機と目的

• 非局所拡散問題に対して、ディリクレ境界条件を満たす安定かつ収束するメッシュフリーなコロケーション法の開発。
• メッシュサイズ h に依存せず、固定された δ に対して非局所解、δ → 0 のときの局所極限への収束を保証すること。
• 非局所剛性行列の構築における計算コストを削減するため、高次数の数値積分をメッシュフリーな積分技術に置き換えること。
• 再生核粒子法（RKPM）と一般化された移動最小二乗法（GMLS）を統合し、数値積分の重みを計算すること。
• 既知の安定なガレルキン形式との比較により、コロケーションスキームの理論的安定性を確立すること。

提案手法

• 再生核（RK）コロケーション法を、再生核近似の性質とグリッド構造を活かした、直交座標系グリッド上に線形に構築する。
• 安定なガレルキンスキームとの比較による議論により、コロケーション法の安定性を証明する。
• 各ホライズン内に固定数の数値積分点を用いた和分で積分作用素を置き換える、準離散的非局所拡散作用素を導入する。
• 多項式再現条件により数値積分重みを計算し、対称的な点配置下で正の値を保証することで、安定性を支援する。
• RKコロケーションと準離散的作用素を組み合わせることで、δ と h を同時に変化させた場合でも、正しい局所極限への収束を達成する。
• ノードごとに固定数の数値積分点を用いたメッシュフリー積分を採用し、従来のガウス積分に比べて著しく積分コストを低減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再生核コロケーション法が、ディリクレ条件を伴う非局所拡散問題に対して安定かつ収束することを証明できるか？
• RQ2 δ と h が結合されている場合でも、固定された δ に対して非局所解、δ → 0 のときの局所極限への収束が保証されるか？
• RQ3 多項式再現を満たすメッシュフリー積分を用いた準離散的非局所作用素を構築でき、高次数積分の必要性を排除しながら収束性を維持できるか？
• RQ4 RKPM と GMLS から得られる数値積分重みはどのように比較できるか？また、正の値を保証することで安定性を確保できるか？
• RQ5 δ と h を変化させた場合の、組み合わせたRKコロケーション法とメッシュフリー積分スキームの収束特性はいかなるものか？

主な発見

• RKコロケーション法は、RK近似の性質とグリッド構造を活かし、安定なガレルキンスキームとの比較により安定性が保証された。
• 固定された δ に対して非局所解に収束し、δ → 0 のとき局所拡散極限に収束する。δ と h_max の結合に関わらず、同様の収束性が成立する。
• 多項式再現を満たすメッシュフリー積分を用いた準離散的作用素により、δ と h を同時に変化させた場合でも、正しい局所極限への収束が達成された。
• 2次元における数値実験により理論的収束率が確認された：境界条件を正確に強制する場合（注記7.1 i）、最適の収束順序が達成された。
• 境界条件を弱く強制する場合（注記7.1 ii）、低い収束率が観察された。これは、非局所境界処理における既知の課題と整合的である。
• メッシュフリー積分技術により、高価な二重積分を、ノードごとに少数の固定数の積分点によるスパースな和分に置き換えることで、計算コストを著しく低減した。