[論文レビュー] Asymptotically Good Quantum Codes with Transversal Non-Clifford Gates

Louis Golowich, Venkatesan Guruswami|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2024

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

著者らは、任意の素冪次元 q の量子系に対して transversal CCZ ゲートをサポートする量子符号を構築し、ブロック長 n に対して次元と距離の線形成長を実証し、マジック状態蒸留のオーバーヘッドが漸近的に消失しうることを示す。

ABSTRACT

We construct quantum codes that support transversal $CCZ$ gates over qudits of arbitrary prime power dimension $q$ (including $q=2$) such that the code dimension and distance grow linearly in the block length. The only previously known construction with such linear dimension and distance required a growing alphabet size $q$ (Krishna & Tillich, 2019). Our codes imply protocols for magic state distillation with overhead exponent $γ=\log(n/k)/\log(d) ightarrow 0$ as the block length $n ightarrow\infty$, where $k$ and $d$ denote the code dimension and distance respectively. It was previously an open question to obtain such a protocol with a contant alphabet size $q$. We construct our codes by combining two modular components, namely, (i) a transformation from classical codes satisfying certain properties to quantum codes supporting transversal $CCZ$ gates, and (ii) a concatenation scheme for reducing the alphabet size of codes supporting transversal $CCZ$ gates. For this scheme we introduce a quantum analogue of multiplication-friendly codes, which provide a way to express multiplication over a field in terms of a subfield. We obtain our asymptotically good construction by instantiating (i) with algebraic-geometric codes, and applying a constant number of iterations of (ii). We also give an alternative construction with nearly asymptotically good parameters ($k,d=n/2^{O(\log^*n)}$) by instantiating (i) with Reed-Solomon codes and then performing a superconstant number of iterations of (ii).

研究の動機と目的

• 抵抗性量子計算を動機づけるため、 transversal 実装を通じて効率的な非クリフォードゲートを実現する。
• 固定された素冪次元 q の qudit 上で transversal CCZ ゲートをサポートする量子符号を構築する。
• コードの次元 k と距離 d がブロック長 n に対して線形に成長する（漸近的に良好）。
• アルファベットを一定に保ちつつ transversal ゲート機能を維持するアルファベット削減技術を示す。
• Reed-Solomon 符号を用いたほぼ漸近的に良好なパラメータを持つ代替構成を提供する。

提案手法

• 一般的な構成を抽象化する：漸近的に良好な C, C⊥, C*3 を用いる古典コード C から transversal CCZ_q をサポートする量子 CSS 符号へ。
• 代数幾何（AG）符号でアルファベットサイズを一定に保ち、連結してアルファベットを q に縮小する。
• 転換可能な乗算フレンドリ符号の量子類似を開発して、連結を通じてアルファベット削減を実現しつつ transversal ゲートを保持する。
• Reed-Solomon 符号を用いた別ルートを提供し、連結回数が超定数でもほぼ漸近的に良好なパラメータを達成する。
• 定義された係数ベクトル b によって transversal CCZ_q（q≥5 の場合は U_q）ゲートが符号データに正しく作用することを証明する。
• トランスペラント CCZ は簡単な同値性（補題 2.10）を介して transversal U を意味することを説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数アルファベットサイズで k,d が n に対して線形となる漸近的に良好な量子符号を transversal non-Clifford ゲートで構築できるか？
• RQ2 アルファベットサイズを削減する際、どの古典-量子コード変換が transversal CCZ/U ゲートを保持するか？
• RQ3 乗算フレンドリ符号の概念を量子設定に適用してアルファベット削減を可能にするには？
• RQ4 AG 符号対 Reed-Solomon 符号を比較した場合、固定アルファベット transversal ゲートの実現にはどのようなトレードオフがあるか？
• RQ5 これらの符号はマジック状態蒸留のオーバーヘッドとスケーラビリティにどう影響するか？

主な発見

• トランスバースル CCZ ゲートを q 次元の qudit 上で行える無限ファミリの量子符号が存在し、k=Θ(n) および d=Θ(n) を満たす。
• q≥5 の場合、符号は transversal U ゲートもサポートする。
• 定数アルファベットサイズ q に対してマジック状態蒸留のオーバーヘッドの指数 γ は n→∞ で γ→0 を満たす。
• 連結によるアルファベット削減は乗算フレンドリ符号を用いて transversal ゲート能力を保持し、k および d に小さな損失しかなく小さなアルファベットの符号を得る。
• AG 符号ベースの実装は漸近的に良好なパラメータを与え、Reed-Solomon 実装は数回の連結でほぼ漸近的に良好なパラメータを与える。
• Reed-Solomon 符号を用いた代替構成は transversal CCZ で k,d ≥ Ω(n/2^{O(log^* n)}) を達成する。