[論文レビュー] Asymptotically isometric codes for holography

Thomas Faulkner, Min Li|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2022

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ホログラフィーにおける漸近的に等長な量子誤り訂正符号を導入し、有限Nにおける非等長埋め込みにもかかわらず、大N極限において断片的量子場理論代数が出現することを示している。因果的およびエンタングルメント・ウェッジ再構成がネット拡張を介して保存されることを確立し、漸近的情報歪みのトレードオフ定理を証明し、エンタングルメント・ウェッジ拡張が存在するのは、バルクと境界の相対エントロピーまたはモジュラーフローが漸近的に一致する場合に限ることを示している。

ABSTRACT

The holographic principle suggests that the low energy effective field theory of gravity, as used to describe perturbative quantum fields about some background has far too many states. It is then natural that any quantum error correcting code with such a quantum field theory as the code subspace is not isometric. We discuss how this framework can naturally arise in an algebraic QFT treatment of a family of CFT with a large-$N$ limit described by the single trace sector. We show that an isometric code can be recovered in the $N ightarrow \infty$ limit when acting on fixed states in the code Hilbert space. Asymptotically isometric codes come equipped with the notion of simple operators and nets of causal wedges. While the causal wedges are additive, they need not satisfy Haag duality, thus leading to the possibility of non-trivial entanglement wedge reconstructions. Codes with complementary recovery are defined as having extensions to Haag dual nets, where entanglement wedges are well defined for all causal boundary regions. We prove an asymptotic version of the information disturbance trade-off theorem and use this to show that boundary theory causality is maintained by net extensions. We give a characterization of the existence of an entanglement wedge extension via the asymptotic equality of bulk and boundary relative entropy or modular flow. While these codes are asymptotically exact, at fixed $N$ they can have large errors on states that do not survive the large-$N$ limit. This allows us to fix well known issues that arise when modeling gravity as an exact codes, while maintaining the nice features expected of gravity, including, among other things, the emergence of non-trivial von Neumann algebras of various types.

研究の動機と目的

• ホログラフィーにおける局所的量子場理論代数と正確な量子誤り訂正符号の間の不整合を解消すること。
• 有限Nにおける有効場理論が自由度を過剰に数えるため、非等長埋め込みが生じる問題に対処すること。
• 大N CFTを用いて、因果的ウェッジを超えてエンタングルメント・ウェッジへとQECフレームワークを拡張すること。
• 近似的な符号における非自明なエンタングルメント・ウェッジ再構成が可能となる条件を確立すること。
• 境界因果性が保たれる漸近的版の情報歪みトレードオフ定理を証明すること。

提案手法

• 大N CFTにおける単一トレース演算子からコード部分空間を構築し、N→∞の極限でバルク有効場理論が生成されることを示す。
• 有限Nにおける非自明な核と非等長符号化を許容するため、微視的理論への埋め込みに有界演算子VNを用いる。
• 固定状態に対して符号写像が大N極限で等長写像に収束することにより、漸近的に等長な符号を定義する。
• 良好に定義されたエンタングルメント・ウェッジを定義し、非自明な再構成を可能にするために、ハーグ双対ネットへのネット拡張を導入する。
• ボルヘルズの時空的チューブ定理とグリーン関数の議論を適用し、因果的領域の加法性と因果的ウェッジ双対性を正当化する。
• バルクと境界の相対エントロピーまたはモジュラーフローが漸近的に一致することを基準として、エンタングルメント・ウェッジ拡張の基準を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホログラフィーにおける非等長符号でも、因果的およびエンタングルメント・ウェッジ再構成が一貫して可能であるか？
• RQ2 有限次元のコード部分空間を持つQECフレームワークにおいても、タイプ-III1 フォン・ノイマン代数としてのバルク量子場理論代数がどのように出現するのか？
• RQ3 有限Nの誤差を持つ近似的な符号において、エンタングルメント・ウェッジ再構成が可能となる条件は何か？
• RQ4 コードが有限Nで等長でない場合、境界因果性はどのように保たれるのか？
• RQ5 エンタングルメント・ウェッジ拡張が存在する条件は何か？また、どのように特徴づけられるか？

主な発見

• 漸近的に等長な符号は、固定状態に対してN→∞の極限で等長的挙動を回復し、有限NにおけるQFTの自由度の過剰な数え上げを解消する。
• エンタングルメント・ウェッジ拡張の存在は、バルクと境界の相対エントロピーまたはモジュラーフローが漸近的に一致することと同値である。
• ハーグ双対ネットへのネット拡張により、因果的ウェッジがハーグ双対性を満たさない場合でも、良好に定義されたエンタングルメント・ウェッジと非自明な再構成が可能になる。
• 漸近的版の情報歪みトレードオフ定理が証明され、コード拡張の下でも境界因果性が保たれることを保証する。
• ボルヘルズの時空的チューブ定理とグリーン関数の密度に関する議論により、因果的領域の加法性が支持され、バルクにおける因果的ウェッジ双対性が正当化される。
• このフレームワークにより、QFT真空のエンタングルメントに一致する非自明なタイプ-III1 フォン・ノイマン代数の出現が可能となり、ホログラフィック境界と両立する。