[論文レビュー] Asymptotically isometric metrics on relatively hyperbolic groups and marked length spectrum

Koji Fujiwara|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、トーラル相対的双曲的群上の弱漸近等長的で、粗い測地線的距離関数が、粗く等価であることを確立している。これは、双曲的群に対する先行研究を一般化するものである。主な貢献は、2つの距離関数が同じマークド長さスペクトルを持つ場合、それらの普遍被覆空間が $G$-不変写像を介して $(1,C)$-クライオアイソメトリックであることを証明したことである。これは、相対的双曲的基本群をもつリーマン多様体のマークド長さスペクトル問題を前進させる。

ABSTRACT

We prove asymptotically isometric, coarsely geodesic metrics on a toral relatively hyperbolic group are coarsely equal. The theorem applies to all lattices in SO(n,1). This partly verifies a conjecture by Margulis. In the case of hyperbolic groups/spaces, our result generalizes a theorem by Furman and a theorem by Krat. We discuss an application to the isospectral problem for the length spectrum of Riemannian manifolds. The positive answer to this problem has been known for several cases. All of them have hyperbolic fundamental groups. We do not solve the isospectral problem in the original sense, but prove the universal covers are (1,C)-quasi-isometric if the fundamental group is a toral relatively hyperbolic group.

研究の動機と目的

• 相対的双曲的群上の弱漸近等長的距離関数が粗く等価である条件を確立すること。
• Furman や Krat による双曲的群に関する結果を、より広いクラスのトーラル相対的双曲的群へ一般化すること。
• リーマン多様体のマークド長さスペクトル問題に取り組み、基本群がトーラル相対的双曲的である場合、同型な距離関数がその普遍被覆空間上で $(1,C)$-クライオアイソメトリックであることを示すこと。
• 同じマークド長さスペクトルを持つ距離関数が、普遍被覆空間をクライオアイソメトリックに誘導する条件を理解するための枠組みを提供すること。これは、既知の結果を双曲的でない基本群へ拡張するものである。

提案手法

• 群作用における移動長の極限がすべての双曲的元に対して等しいという、弱漸近等長性の概念を用いる。
• 経路が一様な加法的誤差内で測地線を近似するという、粗い測地線的距離関数の概念を適用する。
• 基本群がトーラル相対的双曲的であり、距離関数が同じマークド長さスペクトルを持つ場合、多様体の普遍被覆空間間の $G$-不変 $(1,C)$-クライオアイソメトリズムを構成する。
• 普遍被覆空間上の $G$-作用を活用し、軌道点からのクライオアイソメトリズムを全空間へ拡張し、有界な歪みを保証する。
• 被覆写像と $G$-不変性を用いたリフト補題を用いて、普遍被覆空間内の距離を比較する。
• 特に、境界部分群における ${\mathbb{Z}}^{n_i}$ の有限指数部分群の存在を含む、トーラル相対的双曲的群の構造的性質に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的双曲的群上の弱漸近等長的距離関数が、どのような条件下で粗く等価になるか。
• RQ2 トーラル相対的双曲的基本群をもつ多様体の普遍被覆空間のクライオアイソメトリ型が、マークド長さスペクトルによって決定されるか。
• RQ3 Furman や Krat による双曲的群に関する結果が、より広いクラスのトーラル相対的双曲的群へ拡張可能か。
• RQ4 非双曲的基本群に対して、マークド長さスペクトル問題がクライオアイソメトリックな普遍被覆空間の観点から解けるか。
• RQ5 相対的双曲的群作用が粗い測地線的空間に作用する文脈において、弱漸近等長性と粗い等価性の関係は何か。

主な発見

• トーラル相対的双曲的群上の弱漸近等長的で、粗い測地線的距離関数は、粗く等価である。
• この結果は、Furman や Krat の定理を双曲的群から相対的双曲的群へ一般化するものである。
• 同型なトーラル相対的双曲的基本群と同一のマークド長さスペクトルをもつ閉じたリーマン多様体について、その普遍被覆空間は $G$-不変写像を介して $(1,C)$-クライオアイソメトリックである。
• 証明では、軌道のリフトと有界な歪みを用いて、一方の多様体の普遍被覆空間から他方へ向かう $G$-不変 $(1,C)$-クライオアイソメトリズムを構成する。
• この結果は、$SO(n,1)$ のすべての格子、孤立した平坦部をもつ CAT(0) 群、およびハイパーボリックな JSJ ピece をもつ特定の3次元多様体の基本群に適用可能である。
• この枠組みにより、マークド長さスペクトル問題が、このクラスの群において、同型でない場合でも、普遍被覆空間におけるクライオアイソメトリの問題に還元されることを示している。