[論文レビュー] Asymptotically nonexpansive mappings in uniformly convex hyperbolic spaces

Ulrich Kohlenbach, Laurenţiu Leuştean|ArXiv.org|Jul 11, 2007

Optimization and Variational Analysis参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一様に凸なヒルベルト空間における漸近的に非拡大写像の不動点定理を、一様に凸なハイパボリック空間へと一般化し、証明のマイニング技術を用いてクレアノセルスキー＝マン反復のメタ安定性に関する有効的かつ計算可能なバウンドを提供する。主な貢献は、列 $\|x_n - T(x_n)\|$ がゼロに収束するための定量的メタ安定性率の特定であり、これは一様に凸なノルム空間からより広いクラスの距離空間、特に CAT(0)-空間や $\mathbb{R}$-ツリーへと一般化された結果である。

ABSTRACT

This paper provides a fixed point theorem for asymptotically nonexpansive mappings in uniformly convex hyperbolic spaces as well as new effective results on the Krasnoselski-Mann iterations of such mappings. The latter were found using methods from logic and the paper continues a case study in the general program of extracting effective data from prima-facie ineffective proofs in the fixed point theory of such mappings.

研究の動機と目的

• 一様に凸なノルム空間における漸近的に非拡大写像の不動点定理を、より一般の設定である一様に凸なハイパボリック空間へと拡張すること。
• 論理的証明マイニング技術を用いて、このより広い設定におけるクレアノセルスキー＝マン反復のメタ安定性に関する有効的かつ計算可能なバウンドを抽出すること。
• ノルム空間における収束速度に関する先行結果を、CAT(0)-空間や $\mathbb{R}$-ツリーを含むハイパボリック空間へと一般化すること。
• タオによって形式化されたメタ安定性の概念を用いて、$\|x_n - T(x_n)\|$ の収束の定量的バージョンを提供すること。
• 収束速度が計算可能でない場合であっても、単調関数的解釈を用いて反復列のメタ安定性に対する一様な有効的バウンドを抽出できることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、証明マイニングからの論理的証明理論的手法としての単調関数的解釈を用い、非有効的証明を明示的なバウンドを伴う有効的証明に変換する。
• 彼らは、[19]における $a_{n+1} \leq (1 + b_n)a_n + c_n$ を満たす列に関する鍵となる補題を、一様に凸なハイパボリック空間の設定へと一般化する。
• 証明は、$a_n = d(x_n, p)$ および主要化列 $\alpha_n$ を構成することで、反復における距離の増大を制御することに依存する。
• 収束に関する記述を有限かつ一様なメタ安定性条件に変換する論理的メタ定理を適用することで、定量的メタ安定性バウンドを導出する。
• 関数 $h^n(0)$ の有限反復を用いてバウンド $N_0 = h^s(0)$ を定義し、$|a_j - a_i| \leq \theta$ および $|\alpha_j - \alpha_i| \leq \theta$ がすべての $i,j$ に対して $[N_0, N_0 + g(N_0 + 1) + 2]$ 内で成り立つようにし、これによりメタ安定性を保証する。
• 最終的なバウンド $d(x_m, T(x_m)) < \varepsilon$ は、一様に凸なハイパボリック空間の幾何的および距離的性質と、凸写像 $W$ の凸性を用いた背理法によって確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的に非拡大写像の不動点定理は、一様に凸なノルム空間から一様に凸なハイパボリック空間へと拡張可能か？
• RQ2 一様に凸なハイパボリック空間におけるクレアノセルスキー＝マン反復のメタ安定性に対して、有効的かつ計算可能なバウンドを抽出できるか？
• RQ3 収束速度が計算可能でない場合であっても、一様な有効的メタ安定性率を取得することは可能か？
• RQ4 証明マイニングの論理的技術、特に単調関数的解釈は、非線形空間における距離的不動点理論にどのように適用可能か？
• RQ5 一様に凸なハイパボリック空間における列 $\|x_n - T(x_n)\|$ の定量的挙動は何か？すべての初期点および写像に対して一様にバウンド可能か？

主な発見

• 本稿は、一様に凸なハイパボリック空間における漸近的に非拡大写像の不動点定理を確立し、一様に凸なノルム空間および CAT(0)-空間からの結果を一般化する。
• クレアノセルスキー＝マン反復列のメタ安定性に対する一様な有効的バウンドを提供し、任意の $\varepsilon > 0$ および関数 $g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ に対して、$\|x_m - T(x_m)\| < \varepsilon$ がすべての $m \in [N, N + g(N)]$ で成り立つような $N$ が存在することを保証する。
• CAT(0)-空間の場合、近似不動点性質に対して二次のバウンドが得られ、ある $p \in C$ に対して $d(p, Tp) \leq \frac{1}{2^{\Phi}(\Phi + K)}$ が成り立つ。ここで $\Phi$ は一様凸性のモジュラスに依存する。
• 有効的バウンドは、関数 $h^n(0)$ の有限反復により構成され、$N_0 = h^s(0) < \Phi = h^M(0)$ とすることで、メタ安定区間の存在を保証する。
• 証明は、$d(x_i, p) \geq \frac{\varepsilon}{f(K)}$ および $d(T^i x_i, x_i) \geq \frac{\varepsilon}{f(K)}$ ならば矛盾が生じることを示し、これにより少なくとも一方の距離が小さくなることが導かれる。その結果、$d(x_m, T(x_m)) < \varepsilon$ が成立する。
• 最終的なバウンドは、不等式 $\varepsilon/2 + (1+K)^2 \theta < \varepsilon$ が成り立つことから、$\theta$ が凸性モジュラスおよび関数 $f(K)$ から導かれる小さな正の量であるため、$d(x_m, T(x_m)) < \varepsilon$ を満たす。