[論文レビュー] Asymptotically Optimal Lower Bounds on the NIH-Multi-Party Information

André Gronemeier|ArXiv.org|Feb 10, 2009

Cryptography and Data Security参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、情報理論的アプローチを用いて、一意な交差を伴うk人パーティの集合素集合問題のランダム化ε誤差通信複雑度に対して、漸近的に最適なΩ(n/k)の下界を確立する。主な貢献は、k進AND関数の情報複雑度に対するタイトな下界を示したことであり、1ウェイおよび一般プロトコルの両方における先行の境界のギャップを解消する。ICε(ANDk; Z|D) ≥ c(ε)/k（c(ε) > 0 である定数）を証明することで達成される。

ABSTRACT

Here we prove an asymptotically optimal lower bound on the information complexity of the k-party disjointness function with the unique intersection promise, an important special case of the well known disjointness problem, and the ANDk-function in the number in the hand model. Our (n/k) bound for disjointness improves on an earlier (n/(k log k)) bound by Chakrabarti et al. (2003), who obtained an asymptotically tight lower bound for one-way protocols, but failed to do so for the general case. Our result eliminates both the gap between the upper and the lower bound for unrestricted protocols and the gap between the lower bounds for one-way protocols and unrestricted protocols.

研究の動機と目的

• 一意な交差を伴うkパーティ素集合問題の通信複雑度に関する既知の上界と下界のギャップを埋めること。
• 素集合関数の1ウェイプロトコル下界と一般プロトコル下界の不一致を解消すること。
• 特定の入力分布下でのk進AND関数の情報複雑度に対するタイトで、漸近的に最適な下界を確立すること。
• 情報理論的手法を用いて、多パーティ設定におけるより緊密な通信複雑度境界を確立する基盤を提供すること。

提案手法

• 1人のプレイヤーがランダムビットを保有し、他のプレイヤーが0を保有するような同時入力分布の下で、k進AND関数の情報複雑度を分析する情報理論的フレームワークを用いる。
• 条件付き相互情報量を用いて、他のプレイヤーの入力が与えられたもとでのトランスクリプトの情報内容とプレイヤーの入力との関連を定式化する。
• 対称性に基づく議論を用いて、一意な交差分布下でのAND関数の情報複雑度を、標準的な一様入力モデル下でのそれと等価に扱う。
• 自明な決定的プロトコルがI(T : Xi | X−i = 0) = 1/kを達成できることを活用し、下界の最適性を確立する。
• 素集合問題とAND関数の関係を用いて、情報複雑度の下界を通信複雑度の主要結果に変換する。
• 既知の素集合問題からAND関数への還元を適用し、情報複雑度の下界を通信複雑度の文脈に移転する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一意な交差を伴うkパーティ素集合問題のランダム化ε誤差通信複雑度に対する漸近的に最適な下界は何か？
• RQ2 1ウェイプロトコルに限らず、一般の多パーティプロトコルについても、上界と下界のギャップを埋めることは可能か？
• RQ3 指定された入力分布下でのk進AND関数の正確な情報複雑度は何か？
• RQ4 AND関数の情報複雑度下界は、素集合問題に対するタイトな通信複雑度境界を示唆するか？

主な発見

• この論文は、一意な交差を伴うkパーティ素集合問題に対して、ランダム化ε誤差通信複雑度の下界Ω(n/k)を確立する。
• この下界は漸近的に最適であり、Chakrabartiら（2003年）の既知の上界と一致する。
• 指定された入力分布下でのk進AND関数の情報複雑度は、εにのみ依存する定数c(ε) > 0を用いて、c(ε)/k以上である。
• 下界はタイトである。自明な決定的プロトコルが正確に1/kの情報コストを達成できることから、最適性が確認される。
• この結果により、素集合関数の1ウェイプロトコルと一般プロトコルの下界のギャップが埋められた。
• 情報理論的手法は、基本的な多パーティ問題における長年の通信複雑度境界のギャップを効果的に解消した。