[論文レビュー] Asymptotically split extensions and E-theory

Vladimir Manuilov, Klaus Thomsen|ArXiv.org|Nov 26, 1999

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、漸近的に分解可能な拡張を用いてE理論の新しい定式化を確立し、$SA$ から安定なC*-代数 $B$ への漸近的ホモオモルフィズムと、$S^2A$ に対する半逆可換拡張のホモトピー類の間の一対一対応を示している。E理論を漸近的分解の観点から再解釈することで、KK理論が分解可能な拡張を用いるのと同様に、拡張理論を用いたE理論のホモトピー的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We show that the E-theory of Connes and Higson can be formulated in terms of C*-extensions in a way quite similar to the way in which the KK-theory of Kasparov can. The essential difference is that the role played by split extensions should be taken by asymptotically split extensions. We call an extension of a C*-algebra $A$ by a stable C*-algebra $B$ asymptotically split if there exists an asymptotic homomorphism consisting of right inverses for the quotient map. An extension is called semi-invertible if it can be made asymptotically split by adding another extension to it. Our main result is that there exists a one-to-one correspondence between asymptotic homomorphisms from $SA$ to $B$ and homotopy classes of semi-invertible extensions of $S^2A$ by $B$.

研究の動機と目的

• C*-拡張の観点からE理論を再定式化し、KK理論が分解可能な拡張を用いるのと同様の枠組みを提供すること。
• 漸近的に分解可能な拡張のクラスを定義・分析すること。ここで、商写像が漸近的な右逆写像をもつものである。
• 半逆可換拡張の概念を導入し、別の拡張を加えることで漸近的に分解可能になるものとする。
• 漸近的ホモオモルフィズム $SA$ から $B$ へのものと、$S^2A$ に対する半逆可換拡張のホモトピー類との間のホモトピー的対応を確立すること。
• 厳密な分解ではなく漸近的分解を用いることで、KK理論の枠組みに類似した、拡張理論に基づくE理論の新たな視点を提供すること。

提案手法

• C*-代数 $A$ と安定なC*-代数 $B$ による拡張を、商写像のための漸近的*-ホモオモルフィズムからなる右逆写像が存在する場合、漸近的に分解可能であると定義する。
• 半逆可換拡張とは、別の拡張を加えることで漸近的に分解可能になるものとして定義する。
• 中心的な対象として、$SA$ から $B$ への漸近的ホモオモルフィズムを用い、拡張から漸近的リフトを介して構成する。
• 安定化とススペンションの技術を用いて、$SA$ から $B$ への漸近的ホモオモルフィズムの集合と、$S^2A$ に対する半逆可換拡張のホモトピー類の集合との間でホモトピー同値を確立する。
• 安定なC*-代数の構造と漸近的ホモオモルフィズムの性質を活用して、自然な対応を定義する。
• E理論と拡張理論の技術を応用し、対応が全単射であり、ホモトピー類を保存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 E理論は、KK理論が分解可能な拡張を用いるのと同様に、C*-拡張の漸近的分解を用いて再定式化可能か？
• RQ2 半逆可換拡張はE理論クラスの分類において果たす役割は何か？
• RQ3 $SA$ から $B$ への漸近的ホモオモルフィズムと、$S^2A$ に対する拡張のホモトピー類との関係は何か？
• RQ4 E理論の枠組みにおいて、漸近的ホモオモルフィズムと半逆可換拡張のホモトピー類の間には一対一対応が存在するか？
• RQ5 E理論の対応は、完全に漸近的分解を用いた拡張理論の観点から特徴付け可能か？

主な発見

• 漸近的ホモオモルフィズム $SA$ から $B$ へのものと、$S^2A$ に対する半逆可換拡張のホモトピー類との間には一対一対応が存在し、E理論の新たな特徴付けが得られた。
• 半逆可換拡張のクラスはホモトピーおよび直和に関して閉じており、拡張理論的観点からE理論の自然な枠組みを形成する。
• 漸近的に分解可能な拡張は、分解可能な拡張を一般化したものであり、厳密な分解の代わりにホモトピー的置換を提供する。
• この対応は自然であり、E理論の構造を保ち、E理論が漸近的分解を用いた拡張理論的データから再構成可能であることを示している。
• この枠組みにより、KasparovのKK理論が有するホモトピー的解釈に類似したE理論のホモトピー的解釈が得られ、ただし厳密なホモオモルフィズムの代わりに漸近的ホモオモルフィズムを用いる。
• 本稿では、E理論が $S^2A$ に対する半逆可換拡張のホモトピー類の群に同値であり、その対応が漸近的リフトによって誘導されることを確立した。