[論文レビュー] Asymptotics and Hamiltonians in a First order formalism

Abhay Ashtekar, Jonathan Engle+1 more|MPG.PuRe (Max Planck Society)|Feb 18, 2008

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、無限大の補正項を必要としない、漸近的に平坦な4次元時空における一般相対性理論の一次形式作用原理を構築する。オルソナーマル四元形式とローレンツ接続を用いることで、ハミルトニアンが漸近的ポアンカレ対称性を生成する、明確に定義された共変位相空間が得られ、有限なエネルギー運動量および角運動量が得られ、長年の問題であった対数的平行移動と超移動の問題が解決される。

ABSTRACT

We consider 4-dimensional space-times which are asymptotically flat at spatial infinity and show that, in the first order framework, action principle for general relativity is well-defined \emph{without the need of infinite counter terms.} It naturally leads to a covariant phase space in which the Hamiltonians generating asymptotic symmetries provide the total energy-momentum and angular momentum of the space-time. We address the subtle but important problems that arise because of logarithmic translations and super-translations both in the Langrangian and Hamiltonian frameworks. As a forthcoming paper will show, the treatment of higher dimensions is considerably simpler. Our first order framework also suggests a new direction for generalizing the spectral action of non-commutative geometry.

研究の動機と目的

• 漸近的に平坦な時空における一般相対性理論の、無限大の補正項を要しない明確に定義された作用原理の構築。
• ラグランジュ的およびハミルトニアン的枠組みにおいて、対数的平行移動および超移動に起因する漸近的対称性の微妙な問題の解消。
• 漸近的ポアンカレ変換から生成されるハミルトニアンを用いて、有限で共変なエネルギー運動量および角運動量の表現を導出すること。
• アインシュタイン＝ヒルベルト作用に境界項を加えた従来の手法の制限を避ける、自己完結的なラグランジュ的およびハミルトニアン的記述の提供。
• 非可換幾何学におけるスぺクトラル作用を一般化する基盤を築くこと。ここでは、四元形式とスピン接続を運動方程式の前段階で独立変数として扱う一次形式を採用する。

提案手法

• オルソナーマル四元形式 $e^a_\mu$ とローレンツ接続 $A^{ab}_\mu$ を用いた一次作用を定式化し、境界補正項が一切不要な明確な有限作用が得られるようにする。
• 漸近的対称性群をポアンカレ群に縮小する境界条件を課し、保存量が明確に定義されることを保証する。
• 共変位相空間形式を用いて、一次作用から漸近的ポアンカレ変換を生成するハミルトニアンを導出する。
• ハミルトニアン枠組みにおける一貫性を確保するため、境界条件を強化して対数的平行移動および超移動の役割を分析する。
• 空間無限大における表面積分を構成し、物質寄与が明示的に含まれない形で、有限なエネルギー運動量および角運動量の表現を導出する。
• スカラー場、マクスウェル場、ヤン・ミルズ場といった標準的な物質場をフレームワークに組み込むが、表面項の構造は変化せず、物質寄与は制約方程式を通じてのみハミルトニアン被積分に現れる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論における一次形式は、漸近的に平坦な時空において、無限大の補正項を排除できるか？
• RQ2 対数的平行移動および超移動は、ラグランジュ的およびハミルトニアン的枠組みにおける漸近的対称性および保存量の定義にどのように影響を与えるか？
• RQ3 境界項やミンコフスキー空間への埋め込みに依存せずに、有限で共変なエネルギー運動量および角運動量の表現を導出できるか？
• RQ4 4次元において、漸近的対称性群をポアンカレ群に縮小するにはどのような境界条件が必要か？
• RQ5 一般相対性理論における一次形式は、非可換幾何学におけるスぺクトラル作用を一般化する基盤として機能できるか？

主な発見

• 四元形式とローレンツ接続に基づく一次作用は、漸近的に平坦な時空においても、無限大の補正項が一切ない明確に定義された有限な作用である。
• この作用から構築された共変位相空間により、漸近的ポアンカレ変換を生成するハミルトニアンが導出され、有限なエネルギー運動量および角運動量が得られる。
• 適切に強化された境界条件により、対数的平行移動および超移動に起因する曖昧性が排除され、ハミルトニアン枠組みにおける一貫性が保証される。
• 得られたエネルギー運動量および角運動量の表現は、正確な対称性を持つ場合にスピ枠組みや他の手法から得られるものと一致する。
• 標準的な物質場の導入は、ハミルトニアンの表面積分構造を変化させず、物質寄与は制約方程式を通じてのみハミルトニアン被積分に現れる。
• 一次形式の枠組みは、四元形式とスピン接続を運動方程式の前段階で独立変数として扱うことで、非可換幾何学におけるスぺクトラル作用の自然な一般化を示唆する。