[論文レビュー] Asymptotics and Optimal Bandwidth Selection for Nonparametric Estimation of Density Level Sets

Wanli Qiao|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2017

Statistical Methods and Inference被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、対称差に基づくL1リスクの近似として、L2型リスクを導入することにより、d次元空間における密度レベル集合の非パラメトリック推定のための最適帯域幅選択ルールを提案する。境界積分の収束速度をハウスドルフ測度を用いて導出し、レベル集合推定の精度を向上させるための漸近的最適な帯域幅選択が可能となる。

ABSTRACT

Bandwidth selection is crucial in the kernel estimation of density level sets. Risk based on the symmetric difference between the estimated and true level sets is usually used to measure their proximity. In this paper we provide an asymptotic $L_1$ approximation to this risk, propose a corresponding $L_2$ type of risk, and use the new risk to develop an optimal bandwidth selection rule for nonparametric level set estimation of $d$-dimensional density functions ($d\geq 1$). As an important ingredient of the selection rule, integrations over the boundary of the level sets with respect to the Hausdorff measure are studied and the convergence rate of their estimation is derived.

研究の動機と目的

• 核ベースの非パラメトリック推定における密度レベル集合の帯域幅選択という重要な課題に取り組む。
• 推定されたレベル集合と真のレベル集合の間の対称差リスクを最小化することで、レベル集合推定の精度を向上させる。
• d次元密度関数（d ≥ 1）に対して理論的裏付けがあり、漸近的に最適な帯域幅選択ルールを構築する。
• ハウスドルフ測度を用いた境界積分の収束速度を分析し、リスク近似の重要な要素を提供する。

提案手法

• レベル集合推定に用いられる対称差リスクの漸近的L1近似を導出する。
• 元のリスクの代わりにより取り扱いやすい最適化が可能な、新しいL2型リスクを導入する。
• ハウスドルフ測度を用いたレベル集合境界上の積分を分析し、帯域幅選択において不可欠な要素を特定する。
• これらの境界積分の非パラメトリック推定量の収束速度を確立する。
• 導出されたリスクと収束速度を基に、最適帯域幅選択ルールを構築する。
• この手法をd次元密度関数に適用し、単変量のケースを超えて一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 推定された密度レベル集合と真のレベル集合の間の対称差リスクは、どのようにL1で漸近的に近似可能か？
• RQ2 このリスクを最小化する非パラメトリック密度レベル集合推定の最適帯域幅選択ルールは何か？
• RQ3 ハウスドルフ測度で測定されたレベル集合境界上の積分は、帯域幅選択にどのように影響するか？
• RQ4 これらの境界積分の非パラメトリック推定量の収束速度は何か？
• RQ5 取り扱いやすく、最適な帯域幅ルールを導くことができる新しいL2型リスクを構築できるか？

主な発見

• 本稿では、対称差リスクの漸近的L1近似を確立し、レベル集合推定誤差の理論的分析を可能にする。
• 元のリスクの実用的で解析的に取り扱いやすい代替手段として、新しいL2型リスクを提案する。
• ハウスドルフ測度で測定されたレベル集合境界上の積分の非パラメトリック推定量の収束速度を導出し、重要な理論的基盤を提供する。
• 最適帯域幅選択ルールが、d ≥ 1 のd次元密度関数に対して漸近的に有効であることが示された。
• 非パラメトリックレベル集合推定の精度を向上させる、体系的かつ原理的裏付けのある帯域幅選択フレームワークを提供する。