[論文レビュー] Asymptotics and statistical inferences on independent and non-identically distributed bivariate Gaussian triangular arrays

Xin Liao, Zuoxiang Peng|arXiv (Cornell University)|May 13, 2015

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、添え字 $i/n$ に滑らかに依存する相関係数をもつ、独立で同一分布でない2次元ガウス三角配列の最大値について、第一および第二順位の漸近展開を確立する。相関構造を記述する連続的かつ正の関数 $m(x)$ に依存する極限分布を導出し、正則性条件下で第二順位展開を提供するとともに、$m(x)$ に対する最尤推定を用いたパラメトリック推論を構築し、Hüsler-Reiss型の依存構造の統計的検定を可能にする。

ABSTRACT

In this paper, we establish the first and the second-order asymptotics of distributions of normalized maxima of independent and non-identically distributed bivariate Gaussian triangular arrays, where each vector of the $n$th row follows from a bivariate Gaussian distribution with correlation coefficient being a monotone continuous function of $i/n$. Furthermore, parametric inference for this unknown function is studied. Some simulation study and real data sets analysis are also presented.

研究の動機と目的

• 非同一分布で相関のある2次元ガウス三角配列の正規化最大値の極限分布を導出すること。
• 相関関数 $m(i/n)$ に対する正則性条件下で第二順位の分布展開を確立すること。
• 相関構造を支配する未知関数 $m(x)$ に対するパラメトリック統計的推論を構築すること。
• 最尤推定と推定量の漸近的性質を用いて、Hüsler-Reiss条件を検定すること。

提案手法

• 相関係数を $\rho_{ni} = 1 - m(i/n)/\log n$ とモデル化し、$[0,1]$ 上の連続的かつ正の関数 $m(x)$ とする。
• 3つの状態（$\max m(i/n) \to 0$、$\min m(i/n) \to \infty$、$m(x)$ が連続）の下で、正規化最大値 $\mathbf{M}_n = (M_{n1}, M_{n2})$ の第一順位極限分布を導出する。
• 第一順位極限の周囲での収束速度を分析し、$\max_{1\leq i\leq n} m(i/n)$ の挙動を用いてテイラー展開を適用することで、第二順位展開を確立する。
• Cramérのデバイスと多変量中心極限定理を用いて、$m(x) = \alpha + \beta x^\gamma$ のパrameter推定方程式の漸近的正規性を導出する。
• Hüsler-Reiss極値安定分布を基準とし、$i/n$ に依存する関数的依存性を用いて、非定常的かつ非i.i.d. 情報に拡張する。
• 極値理論と相関が変化する2次元ガウスベクトルのモーメント近似を用いて、同時収束速度と漸近的分布を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相関係数が添え字 $i/n$ に滑らかに依存する場合、正規化された2次元最大値の極限分布は何か？
• RQ2 関数 $m(x)$ に対する正則性条件下で、第二順位漸近展開は第一順位極限をどのように精緻化するか？
• RQ3 相関構造を支配する未知関数 $m(x)$ に対して、一貫したパラメトリック推論が可能か？
• RQ4 モデル $m(x) = \alpha + \beta x^\gamma$ のパrameterに対する最尤推定量の漸近的分布は何か？
• RQ5 提案された統計的推論枠組みを用いて、Hüsler-Reiss条件をどのように検定できるか？

主な発見

• 相関係数 $\rho_{ni} = 1 - m(i/n)/\log n$ の下で $\mathbf{M}_n$ の極限分布は、$H(x,y) = \exp\left(-e^{-y}\int_0^1 \Phi\left(\sqrt{m(t)} + \frac{x-y}{2\sqrt{m(t)}}\right)dt - e^{-x}\int_0^1 \Phi\left(\sqrt{m(t)} + \frac{y-x}{2\sqrt{m(t)}}\right)dt\right)$ で与えられる。
• $\max m(i/n) \to 0$ のとき、極限分布は $\Lambda(\min(x,y))$ に退化し、尾部における漸近的依存性を示す。
• $\min m(i/n) \to \infty$ のとき、成分は漸近的に独立となり、極限分布は $\Lambda(x)\Lambda(y)$ となる。
• $m(x)$ に対する正則性条件下で、同時分布の第二順位展開が導出され、収束速度は $\max_{1\leq i\leq n} m(i/n)$ の挙動に依存する。
• モデル $m(x) = \alpha + \beta x^\gamma$ の最尤推定量は漸近的に正規分布に従い、$\frac{1}{\sqrt{n}}(l_{n1}, l_{n2}, l_{n3})^T \overset{d}{\to} N(0, \Sigma)$ となる。ここで $\Sigma$ は $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ に依存する行列である。
• 最尤推定量の漸近的分散は、$t^\gamma$ および $\log t$ を含む積分によって特徴づけられ、$m(x)$ の関数的形に関する推論が可能になる。