[論文レビュー] Asymptotics for Exit Problem and Principal Eigenvalue for a Class of Non-Local Elliptic Operators Related to Diffusion Processes with Random Jumps and Vanishing Diffusion

Ross G. Pinsky|arXiv (Cornell University)|May 18, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、空間的に依存する強度 $V$ とジャンプ分布 $\mu$ に従うランダムジャンプを伴う拡散過程をモデル化する非局所的楕円型作用素の小拡散極限 ($\delta \to 0$) を考察する。漸近的出口分布および主固有値を導出し、Dirichlet問題の解の極限が、$\mu$ の境界における挙動に依存する定数に収束することを示している。境界上での $\mu$ と $V$ の重み付き平均および法線微分を含む明示的公式が得られる。主な結果は、$\mu$ 及びその導関数の境界における消失の順序を用いた、極限定数の明確な特徴付けである。

ABSTRACT

Let $D\subset R^d$ be a bounded domain and denote by $\mathcal P(D)$ the space of probability measures on $D$. Let \begin{equation*} L=\frac12 abla\cdot a abla +b abla \end{equation*} be a second order elliptic operator. Let $μ\in\mathcal P(D)$ and $δ>0$. Consider a Markov process $X(t)$ in $D$ which performs diffusion in $D$ generated by the operator $δL$ and is stopped at the boundary, and which while running, jumps instantaneously, according to an exponential clock with spatially dependent intensity $V>0$, to a new point, according to the distribution $μ$. The Markov process is generated by the operator $L_{δ,μ, V}$ defined by \begin{equation*} L_{δ,μ, V}ϕ\equiv δL ϕ+V(\int_Dϕdμ-ϕ). \end{equation*} %where $C_μ$ is the % "$μ$-centering" operator defined by %\begin{equation*} %C_μ(ϕ)=ϕ-\int_Dϕdμ. %\end{equation*} Let $ϕ_{δ,μ,V}$ denote the solution to the Dirichlet problem \begin{equation*}\label{Dirprob} \begin{aligned} &L_{δ,μ,V}ϕ=0\ ext{in}\ D;\\ &ϕ=f\ ext{on}\ \partial D, \end{aligned} \end{equation*} where $f$ is continuous. The solution has the stochastic representation \begin{equation*} ϕ_{δ,μ,V}(x)=E_xf(X(τ_D)). \end{equation*} One has that $ϕ_{0,μ,V}(f)\equiv\lim_{δ o0}ϕ_{δ,μ,V}(x)$ is independent of $x\in D$. We evaluate this constant in the case that $μ$ has a density in a neighborhood of $\partial D$. We also study the asymptotic behavior as $δ o0$ of the principal eigenvalue $λ_0(δ,μ,V)$ for the operator $L_{δ,μ, V}$, which generalizes previously obtained results for the case $L=\frac12 Δ$.

研究の動機と目的

• 有界領域 $D \subset \mathbb{R}^d$ 内で拡散とランダムジャンプを伴うマコフ過程の小拡散極限 ($\delta \to 0$) を分析すること。
• Dirichlet問題の解 $\phi_{\delta,\mu,V}(x)$ が $\delta \to 0$ の際に $x$ に依存しない定数に収束することを特定すること。
• 極限定数 $\phi_{0,\mu,V}(f)$ をジャンプ分布 $\mu$ の境界における挙動、特にその密度および $\partial D$ 近傍での消失の順序に応じて特徴付けること。
• 一般の2次微分楕円型拡散生成子 $L$ と空間的に依存するジャンプ強度 $V$ の場合に、作用素 $L_{\delta,\mu,V}$ の主固有値 $\lambda_0(\delta,\mu,V)$ に対する以前の結果を一般化すること。

提案手法

• プロセスは、拡散を表す $\delta L$ と、$\mu$ 分布に即座にジャンプする作用を併せ持つジャンプ拡散としてモデル化され、生成子は $L_{\delta,\mu,V} = \delta L + V(\int_D \phi \, d\mu - \phi)$ で与えられる。
• 解 $\phi_{\delta,\mu,V}$ は、$\tau_D$ を $D$ からの抜ける時間として、$\phi_{\delta,\mu,V}(x) = E_x[f(X(\tau_D))]$ として確率的に表現される。
• 小 $\delta$ 範囲におけるスケーリング議論を用いて、関連するグリーン関数の振る舞いを解析することで、漸近的極限 $\phi_{0,\mu,V}(f)$ を分析する。
• 補助関数 $w$ を、$\tilde{L}$（$L$ の形式的随伴）を用いた $\tilde{L}^k \mu / V$ に依存する境界データを満たす楕円型方程式の解として構成し、部分積分と最大原理を適用する。
• 主な技術的道具は、$\delta \to 0$ における境界層挙動を捉えるスケーリング関数 $u_{\delta,V}$ で、$\delta L u_{\delta,V} = -V u_{\delta,V}$ を満たし、その積分的性質を漸近展開を用いて分析する。
• 境界層積分と収束性の取り扱いには、指数的減衰推定を用いた精密な滑らかさと消失順序の仮定のもとで、$\mu$, $V$, $a$, $b$ に対して厳密な条件を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡散係数 $\delta \to 0$ のとき、Dirichlet問題の解 $\phi_{\delta,\mu,V}(x)$ の極限値は何か？
• RQ2 ジャンプ分布 $\mu$ の境界挙動、特にその密度および $\partial D$ 近傍での消失の順序が、小拡散極限における出口分布にどのように影響するか？
• RQ3 作用素 $L_{\delta,\mu,V}$ の主固有値 $\lambda_0(\delta,\mu,V)$ が $\delta \to 0$ のときの漸近的挙動は何か？
• RQ4 極限出口分布は、法線微分や $\partial D$ 上の重み付き平均といった幾何学的・確率的量を用いて明示的に表現可能か？
• RQ5 $\mu$ と $V$ の滑らかさおよび消失順序が、収束速度および極限の構造にどのように影響するか？

主な発見

• 極限 $\phi_{0,\mu,V}(f) = \lim_{\delta \to 0} \phi_{\delta,\mu,V}(x)$ は $D$ 内の $x$ に依存せず、$\mu$ と $V$ の境界挙動に依存する定数に等しい。
• 偶数 $k$ の場合、極限定数は $\phi_{0,\mu,V}(f) = \frac{\int_{\partial D} f \sqrt{n \cdot a n} \, V^{-(k+1)/2} \tilde{L}^{k/2} \mu \, d\sigma}{\int_{\partial D} \sqrt{n \cdot a n} \, V^{-(k+1)/2} \tilde{L}^{k/2} \mu \, d\sigma}$ で与えられ、ここで $k$ は $\mu$ 及びその導関数の $\partial D$ における消失の順序である。
• 奇数 $k$ の場合、公式には $\tilde{L}^{(k-1)/2} \mu$ と法線微分が含まれ、極限は $\phi_{0,\mu,V}(f) = \frac{\int_{\partial D} f \sqrt{n \cdot a n} \, V^{-(k+1)/2} \tilde{L}^{(k-1)/2} \mu \, d\sigma}{\int_{\partial D} \sqrt{n \cdot a n} \, V^{-(k+1)/2} \tilde{L}^{(k-1)/2} \mu \, d\sigma}$ として表される。
• 主固有値 $\lambda_0(\delta,\mu,V)$ は $\delta \to 0$ のとき 0 に収束し、その収束の速度と構造は境界層解析と $\mu$ の消失順序によって特定される。
• グリーン関数の漸近的解析と、$\tilde{L}^k \mu$ から導かれる境界データを持つ随伴方程式の補助関数の使用により、解が定数極限に収束することが確立される。
• 証明は、スケーリング解 $u_{\delta,V}$ のバルク領域および境界層における指数的減衰を精密に評価し、境界項を慎重に制御する部分積分の使用に依存している。