[論文レビュー] Asymptotics for general connections at infinity

Carlos Simpson|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、コンpactなリーマン面のde Rhamモジュライ空間において無限大に近づく接続に対するモノドロミー行列のラプラス変換が、局所的に有限な特異点を持つ解析接続をもつことを確立する。主な結果は、これらの特異点によって定まる指数的成長率の凸包が、多角形であることであり、その頂点はスペクトル曲線上の区分的ホモトピー上への埋め込みに沿ったタウトロジカル1形式の積分に関連しているが、特異点の正確な性質は未解決のままである。

ABSTRACT

For a standard path of connections going to a generic point at infinity in the moduli space $M_{DR}$ of connections on a compact Riemann surface, we show that the Laplace transform of the family of monodromy matrices has an analytic continuation with locally finite branching. In particular the convex subset representing the exponential growth rate of the monodromy is a polygon, whose vertices are in a subset of points described explicitly in terms of the spectral curve. Unfortunately we don't get any information about the size of the singularities of the Laplace transform, which is why we can't get asymptotic expansions for the monodromy.

研究の動機と目的

• de Rhamモジュライ空間において無限大に近づく接続に対するモノドロミー行列の漸近的挙動を理解すること。
• 一般のヒッグス bundle への退化において、モノドロミーの指数的成長率の構造を分析すること。
• モノドロミー関数のラプラス変換における特異点の幾何学的・解析的性質を特定すること。
• スペクトル曲線およびそのタウトロジカル1形式がモノドロミーの漸近的構造を支配する役割を明確にすること。

提案手法

• 有理型ゲージ変換を用いて、接続の族を $ d + B + tA $ の形に簡約する。ここで $ B $ は極をもつ可能性がある。
• 特異摂動に関する先行研究の技法を、$ B $ に極が存在する場合に適応して適用する。
• モノドロミー行列族 $ m(t) $ のラプラス変換 $ f(\zeta) $ を定義し、その解析接続を研究する。
• 特異点の集合が、スペクトル曲線上の区分的ホモトピー上への埋め込みに沿ったタウトロジカル1形式 $ \alpha $ の複素積分の集合 $ \Sigma(\gamma) $ に含まれることを特徴付ける。
• ラプラス変換における特異点の位置を分析することで、指数的成長率の凸包 $ \mathbf{hull}(m) $ が多角形であることを示す。
• 特殊化の議論とハルトグスの定理を用いて、一般のヒッグス bundle に対して、少なくとも1つのモノドロミー行列が複数の特異点を持つことを証明し、これにより非自明な成長が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接続が $ M_{\mathrm{DR}} $ において無限大に近づく場合、モノドロミー行列のラプラス変換における特異点の構造は何か？
• RQ2 モノドロミー行列の指数的成長率は、そのラプラス変換の解析的性質によってどのように符号化されるか？
• RQ3 指数的成長率の凸包は、スペクトル曲線およびそのタウトロジカル1形式を用いて幾何学的に特徴付けられるか？
• RQ4 ラプラス変換の特異点は連続的ホモトピー上への埋め込みに限定されるのか、それともより一般の区分的埋め込みを含むのか？
• RQ5 一般のヒッグス bundle に対して、モノドロミー表現は厳密に指数的成長を示すか？また、特異点の位置からこれを導けるか？

主な発見

• モノドロミー行列族 $ m(t) $ のラプラス変換 $ f(\zeta) $ は、定義6.2で定義されたように、$ \mathbb{C} $ 上で局所的に有限な分岐をもつ解析接続をもつ。
• 関数 $ f(\zeta) $ の特異点の集合は、スペクトル曲線上の区分的ホモトピー上への埋め込みに沿ったタウトロジカル1形式 $ \alpha $ の積分の集合 $ \Sigma(\gamma) $ に含まれる。
• 指数的成長率の凸包 $ \mathbf{hull}(m) $ は多角形であり、その頂点は $ \Sigma(\gamma) $ の点の部分集合として、明示的にスペクトル曲線のデータに関連している。
• 一般のヒッグス bundle に対して、少なくとも1つのモノドロミー行列のラプラス変換には複数の特異点が存在し、これによりモノドロミーが多項式的または単一指数的型ではないことが示唆される。
• モノドロミー表現 $ \rho_t $ のプロセッチ座標 $ R_i(t) $ に対しても多角形の凸包が得られ、一般の $ (E,\theta) $ に対して、少なくとも1つの $ R_i $ は半厳密指数的成長を示し、$ |\rho_t| \geq c e^{a|t|} $ がほとんどすべての方向で成り立つ。
• これらの結果にもかかわらず、$ f(\zeta) $ の特異点近傍における挙動は未解明のままである。成長の上限（たとえば多項式的など）が確立されておらず、漸近展開は得られていない。