[論文レビュー] Asymptotics for sums of random variables with local subexponential behaviour

Søren Asmussen, Sergey Foss+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2013

Probability and Risk Models参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$T < \infty$ である有限区間 $(x, x+T]$ における局所的尾部挙動に注目することで、古典的サブ指数分布を一般化した $\Delta$-サブ指数分布の概念を導入し、分析する。この理論は、畳み込み $F^{*n}(x+\Delta)$ の漸近的挙動が古典的サブ指数理論と一致することを確立し、$F^{*2}(x+\Delta) \sim 2F(x+\Delta)$ が成り立てば $F^{*n}(x+\Delta) \sim nF(x+\Delta)$ が成り立つことを証明する。応用は、ランダムウォーク、再生理論、および分岐過程に及ぶ。

ABSTRACT

We study distributions $F$ on $[0,\infty)$ such that for some $T\le\infty$, $F^{*2}(x,x+T]\sim 2 F(x,x+T]$. The case $T=\infty$ corresponds to $F$ being subexponential, and our analysis shows that the properties for $T

研究の動機と目的

• 有限区間 $(x, x+T]$ における局所的尾部確率に注目する際の、同分布確率変数の和の漸近的挙動を体系的に理論化すること。$T < \infty$ であり、古典的サブ指数理論を拡張すること。
• $\Delta = (0,T]$ に対して $F^{*2}(x+\Delta) \sim 2F(x+\Delta)$ を満たす $[0, \infty)$ 上の分布 $F$ を特徴づけ、新たなクラス $\mathcal{S}_\Delta$ を定義すること。
• $\Delta$-サブ指数条件の下で、キーレノヴァル定理やランダムウォークの上限の漸近的性質といった、主要な結果の類似を確立すること。
• サブ指数密度を持つ分布への理論の拡張を図り、複合ポアソン過程、無限に分割可能な分布、およびベルマン＝ハリス分岐過程への応用を行うこと。

提案手法

• $T < \infty$ であり $\Delta = (0,T]$ である条件下で、$F^{*2}(x+\Delta) \sim 2F(x+\Delta)$ を満たすことで $\Delta$-サブ指数分布を定義し、$F(x+\Delta)$ が長尾的であること（long-tailed）を要請すること。
• $F, G \in \mathcal{L}_\Delta$ ならば $F*G \in \mathcal{L}_\Delta$ であり、$(F*G)(x+\Delta) \gtrsim F(x+\Delta) + G(x+\Delta)$ が成り立つことを証明し、畳み込みに対する安定性を確立すること。
• 畳み込みを本体部と尾部に分解し、$h(x) \to \infty$ とすることで中程度の逸脱からの寄与を制御し、漸近的同等性を示すこと。
• キーレノヴァル定理を応用し、$ (K*U)(x+\Delta) $ の畳み込みを分析することで、$z \in \mathcal{L}$ かつ $K \in \mathcal{S}_\Delta$ の下で $\int_0^x z(x-y)U(dy) \sim I \cdot (K*U)(x+\Delta)$ を示すこと。
• 生成関数と $p_n = \mu^n e^{-\mu}/n!$ を用いて、複合ポアソン測度 $G$ に対して $F \in \mathcal{S}_\Delta$ であることと $G(x+\Delta) \sim \mu F(x+\Delta)$ が同値であることを確立すること。
• 無限に分割可能な分布に対しては、$G$ を正規化されたレヴィ測度、$\nu$ をレヴィ測度とするとき、$G \in \mathcal{S}_\Delta$ ならば $F(x+\Delta) \sim \nu(x+\Delta)$ が成り立つことを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 尾部を全尾部 $(x,\infty)$ ではなく有限区間 $\Delta = (0,T]$ で研究する場合、畳み込み $F^{*n}(x+\Delta)$ の漸近的性質はどのように振る舞うか？
• RQ2 $F^{*2}(x+\Delta) \sim 2F(x+\Delta)$ を満たす条件は何か？ これは古典的サブ指数性質をどのように一般化するか？
• RQ3 キーレノヴァル定理は局所的漸近的性質に拡張可能か？ また、再生測度および尾部分布に必要な条件は何か？
• RQ4 $\Delta$-サブ指数分布は、負のドリフトを持つランダムウォークの上限の漸近的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 無限に分割可能な分布の局所的尾部挙動とそのレヴィ測度との関係は何か？ これは既知の結果をどのように一般化するか？

主な発見

• $F \in \mathcal{S}_\Delta$ ならば、$x \to \infty$ のとき $F^{*n}(x+\Delta) \sim nF(x+\Delta)$ が成り立つ。これは古典的サブ指数畳み込み性質を局所的区間へ拡張したものである。
• ジャンプ分布が $F$ である複合ポアソン過程に対して、$G(x+\Delta) \sim \mu F(x+\Delta)$ が成り立つのは、$F \in \mathcal{S}_\Delta$ であるときであり、かつそのときに限る。ここで $G$ は複合ポアソン分布である。
• キーレノヴァル定理において、$z \in \mathcal{L}$ かつ $K \in \mathcal{S}_\Delta$ ならば、$\int_0^x z(x-y)U(dy) \sim \frac{1}{1-\theta} z(x)$ が成り立つ。ここで $\theta = \int_0^1 K(x+\Delta)dx$ である。
• 無限に分割可能な分布に対しては、$F(x+\Delta) \sim \nu(x+\Delta)$ が $x \to \infty$ のとき成り立つのは、正規化されたレヴィ測度 $G \in \mathcal{S}_\Delta$ であるときであり、かつそのときに限る。これは古典的尾部同等性を一般化する。
• 劣臨界ベルマン＝ハリス分岐過程に対しては、$F \in \mathcal{S}_\Delta$ ならば $t \to \infty$ のとき $A(t) - A(t+T) \sim F(t+\Delta)/(1-A)$ が成り立つ。ここで $A(t) = \mathbb{E}Z(t)$ である。
• $\mathcal{S}_\Delta$ のクラスは、$T < \infty$ のとき、すべての標準的サブ指数分布（例：正規化された正規分布、形状パラメータ $\alpha < 1$ のワイブル分布など）を含み、最小限の修正で古典的ケースと類似した理論を形成する。