[論文レビュー] Asymptotics for the Discrete-Time Average of the Geometric Brownian Motion and Asian Options

Dan Pirjol, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ボラティリティと金利パラメータを固定した状態で、離散時間平均の幾何 Browm運動の漸近的分布をブラック・ショールズモデル下で導出する。大n極限における中心極限定理、ベリー・エッセーンの不等式、大偏差、モーメント生成関数の漸近的性質を確立し、固定ストライクおよびフラーティングストライクの離散平均アジア・オプションの正確な価格評価を可能にする。

ABSTRACT

The time average of geometric Brownian motion plays a crucial role in the pricing of Asian options in mathematical finance. In this paper we consider the asymptotics of the discrete-time average of a geometric Brownian motion sampled on uniformly spaced times in the limit of a very large number of averaging time steps. We derive almost sure limit, fluctuations, large deviations, and also the asymptotics of the moment generating function of the average. Based on these results, we derive the asymptotics for the price of Asian options with discrete-time averaging in the Black-Scholes model, with both fixed and floating strike.

研究の動機と目的

• サンプリング点数nを無限大に近づける際の、離散時間平均の幾何 Browm運動の漸近的挙動を分析すること。
• 平均株価のほぼ確実な極限、揺らぎ、大偏差、およびモーメント生成関数の漸近的性質を導出すること。
• これらの結果を応用して、固定ストライクおよびフラーティングストライクの離散平均アジア・オプションの正確な漸近的公式を導出すること。
• 小さな時間刻みの極限において、離散時間平均が連続時間平均に収束することを確立すること。
• 確率論的および解析的技法を用いて、オプション価格の正確な大n漸近的性質を、イン・ザ・マネーおよびアウト・オブ・ザ・マネーの状況において提供すること。

提案手法

• 固定された $ \rho = (r-q)\tau n $ および $ \beta = \frac{1}{2}\sigma^2 \tau n^2 $ の下で、$ A_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n S_{t_i} $ のほぼ確実な極限を導出する。
• 中心極限定理および非一様なベリー・エッセーンの不等式を用いて、$ \sqrt{n}(\kappa S_{t_n} - A_n) $ の揺らぎスケーリングを特徴づけ、明示的な分散表現を提供する。
• 大偏差理論を用いて、アウト・オブ・ザ・マネー・オプション価格の指数的減衰率を導出し、レート関数 $ \mathcal{H}(0) $ を得る。
• オプション価格の大きな偏差および中心極限定理の根拠となる、$ A_n $ のモーメント生成関数の漸近的性質を導出する。
• 標準的な Browm 運動 $ Z_t $ を用いた表現 $ S_t = S_0 e^{\sigma Z_t + (r-q - \frac{1}{2}\sigma^2)t} $ に依拠する。
• 時間刻み $ \tau = t_n / n $ を $ \tau \to 0 $ に近づけることで、離散時間の結果が連続時間平均に分布収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均化点数が無限大に近づく際の、離散時間幾何 Browm 運動平均のほぼ確実な極限は何か？
• RQ2 離散平均の揺らぎは漸近的にどのように振る舞い、正規化された偏差の極限分散は何か？
• RQ3 大n極限におけるアウト・オブ・ザ・マネー・アジア・オプションの価格に対する大偏差の漸近的性質は何か？
• RQ4 イン・ザ・マネー・アジア・オプションのインプライド・ボラティリティは、平均化点数に伴いどのようにスケーリングされるか？
• RQ5 ブラック・ショールズモデル下で、大nにおける固定ストライクおよびフラーティングストライクアジア・オプション価格の正確な漸近的挙動は何か？

主な発見

• 固定された $ \beta $ および $ \rho $ の下で、$ \rho \neq 0 $ のとき $ A_n $ はほとんど確実に $ \frac{r-q}{r-q-\sigma^2/2} S_0 e^{\rho} $ に収束し、$ \rho = 0 $ のときは $ S_0 $ に収束する。
• 正規化された偏差 $ \sqrt{n}(\kappa S_{t_n} - A_n) $ は、分散 $ \frac{2\beta}{\rho^2} \left[1 - \frac{2}{\rho}(e^\rho - 1) + \frac{e^{2\rho} - 1}{2\rho} \right] $ の正規確率変数に分布収束する。これは平均に対する中心極限定理を提供する。
• アウト・オブ・ザ・マネー・プット・オプションでは、価格が $ P(n) = e^{-n\mathcal{H}(0) + o(n)} $ のように指数的に減少し、$ \mathcal{H}(0) $ は大偏差のレート関数によって定まる。
• イン・ザ・マネー・アジア・オプション価格は $ C(n) \sim \frac{1}{\sqrt{\pi}} S_0 e^{-\frac{r\rho}{r-q}} \sqrt{\beta v(\rho)} \frac{1}{\sqrt{n}} $ とスケーリングされ、逆平方根の減少を示す。
• イン・ザ・マネー・アジア・オプションのインプライド・ボラティリティは、$ \lim_{n\to\infty} \frac{\Sigma_{\rm LN}(A_\infty,n)}{\sigma} = \frac{S_0}{A_\infty} \sqrt{v(\rho)} $ を満たし、$ v(\rho) $ は $ \rho $ の既知の関数である。
• 固定ストライクオプションでは、コール・オプション価格は $ C(n) = \kappa S_0 e^{-\frac{r\rho}{r-q}} - S_0 e^{-\frac{r\rho}{r-q}} \frac{e^\rho - 1}{\rho} - \frac{e^{-\frac{r\rho}{r-q}} S_0 (e^\rho - 1)}{2n} + O(n^{-2}) $ と漸近的に振る舞い、明示的な補正項を含む。