[論文レビュー] Asymptotics for the expected shortfall

Tobias Zwingmann, Hajo Holzmann|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2016

Statistical Methods and Inference参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、分布関数が分位数における連続性および厳密単調性を満たすという最小限の正則性条件下で、経験的分位数および期待ショートフォール推定量の同時漸近正規性を確立する。微分可能性や正の密度を仮定しない。二変量スコア関数とargmax連続性定理を用いて、分位数推定量が非標準的収束率を示す場合でさえ、期待ショートフォールが√nレートで漸近的に正規的であることを示し、ロバストなリスク尺度推定における主要な技術的課題を解決する。

ABSTRACT

We derive the joint asymptotic distribution of empirical quantiles and expected shortfalls under general conditions on the distribution of the underlying observations. In particular, we do not assume that the distribution function is differentiable at the quantile with strictly positive derivative. Hence the rate of convergence and the asymptotic distribution for the quantile can be non-standard, but our results show that the expected shortfall remains asymptotically normal with a $\sqrt{n}$-rate, and we even give the joint distribution in such non-standard cases. In the derivation we use the bivariate scoring functions for quantile and expected shortfall as recently introduced by Fissler and Ziegel (2016). The main technical issue is to deal with the distinct rates for quantile and expected shortfall when applying the argmax-continuity theorem. We also consider spectral risk measures with finitely-supported spectral measures, and illustrate our results in a simulation study.

研究の動機と目的

• 基礎となる分布の弱い正則性条件下で、経験的分位数および期待ショートフォールの同時漸近的分布を導出すること。
• 分位数推定量が非標準的収束率を示す場合でさえ、期待ショートフォールが√nレートで漸近的に正規的であることを示すこと。
• 有限に支持を持つスペクトル測度を持つスペクトルリスク尺度への分析を拡張すること。
• 分位数と期待ショートフォールが異なる収束率を示す場合にargmax連続性定理を適用する技術的課題に対処すること。
• 分位数関数にカクや密度がゼロであるような非正則な設定におけるリスク尺度の統計的推論の厳密な基礎を提供すること、例えば分位数におけるカクや2次の零点を伴う分布のシミュレーション例に代表される。

提案手法

• FisslerとSmith（2015）が最近導入した分位数および期待ショートフォールのための二変量スコア関数を用いて、最小対比推定量を定義する。
• 一般条件の下で、推定量の同時漸近的分布を導出するためにargmax連続性定理を適用する。
• 分位数と期待ショートフォールの異なる収束率に対処するため、パラメータ空間を二進的シェルに分解し、メトリックエントロピーの議論を用いる。
• 被覆数とメトリックエントロピーを用いたチェインニング議論により、パラメータ空間全体における経験過程を制御する。
• スコア関数の差の有界性と滑らかさに依存し、期待の上界を経験過程の上界に制限するための対称化および収縮の議論を用いる。
• マーカフの不等式とエントロピー積分のモーメントバウンドを組み合わせることで、経験過程に対する一様制御を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 期待ショートフォール推定量が、分位数推定量が非標準的収束率を示す場合でも、最小限の正則性条件下で漸近的に正規的であるのはどのような条件下か？
• RQ2 分位数と期待ショートフォール推定量が異なる収束率を示す場合に、argmax連続性定理をどのように適用できるか？
• RQ3 分布関数が分位数において微分可能でない場合、経験的分位数と期待ショートフォールの同時漸近的分布はどのようなものか？
• RQ4 有限に支持を持つスペクトル測度を持つスペクトルリスク尺度は、弱い正則性条件下で一貫した推定が可能であり、既知の漸近的分布を持つと期待できるか？
• RQ5 非標準的分位数収束が期待ショートフォール推定量の漸近的挙動に与える影響は何か？

主な発見

• 分位数推定量が非標準的収束率（例えば、分位数における密度がゼロである場合）を示す場合でさえ、期待ショートフォール推定量は√nレートで漸近的に正規的である。
• 分布関数がα分位数において連続的かつ厳密に単調であるという唯一の仮定の下で、分位数と期待ショートフォール推定量の同時漸近的分布が導出される。
• 二つの推定量の異なる収束率を考慮したチェインニング議論により、経験過程に対する一様制御が確立される。
• 分位数における正の密度や微分可能性を仮定せずとも、期待ショートフォール推定量の漸近正規性が保証され、従来の滑らかさ仮定に依存する結果を拡張する。
• 技術的枠組みにより、分布関数にカクや導関数がゼロであるようなケース（例：カクまたは2次零点を伴うシミュレーション例）においても、漸近的分布の導出が可能である。
• 本手法は、有限に支持を持つスペクトル測度を持つスペクトルリスク尺度にも適用可能であり、同様の弱い正則性条件下でその同時漸近的分布が得られる。