[論文レビュー] Asymptotics for the normalized error of the Ninomiya-Victoir scheme

Gerbi, Anis Al, Benjamin Jourdain+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ブラウン運動で駆動されるSDEにおける二阶-Victoirスキームの正規化誤差の漸近的分布を確立する。$√{N}(X - X^{NV,\eta})$ が、Lie括弧によるブラウン運動で駆動されるアフィンSDEに安定に分布収束することを証明し、収束速度が $1/2$ であることを確認した。ただし、ベクトル場が可換である場合には、収束速度が $1$ に向上することも示した。この結果は、スキームを用いたマルチレベルモンテカルロ法の使用を裏付けるものである。

ABSTRACT

In a previous work, we proved strong convergence with order $1/2$ of the Ninomiya-Victoir scheme $X^{NV,η}$ with time step $T/N$ to the solution $X$ of the limiting SDE. In this paper we check that the normalized error defined by $\sqrt{N}\left(X - X^{NV,η} ight)$ converges to an affine SDE with source terms involving the Lie brackets between the Brownian vector fields. The limit does not depend on the Rademacher random variables $η$. This result can be seen as a first step to adapt to the Ninomiya-Victoir scheme the central limit theorem of Lindeberg Feller type, derived by M. Ben Alaya and A. Kebaier for the multilevel Monte Carlo estimator based on the Euler scheme. When the Brownian vector fields commute, the limit vanishes. This suggests that the rate of convergence is greater than $1/2$ in this case and we actually prove strong convergence with order $1$.

研究の動機と目的

• 二阶-Victoirスキームの正規化誤差 $\sqrt{N}(X - X^{NV,\eta})$ の漸近的挙動を分析すること。
• 強収束の順序 $1/2$ の文脈において、正規化誤差過程の極限定分布を確立すること。
• ブラウン運動ベクトル場が可換である場合に、収束速度が向上するかどうかを特定すること。
• マルチレベルモンテカルロ法を二阶-Victoirスキームに適用するための理論的基盤を提供すること。
• EulerスキームにおけるLindeberg-Feller型の中心極限定理を、二阶-Victoirスキームへと拡張すること。

提案手法

• Rényiが形式化し、JacodとProtterが拡張した安定な分布収束の概念を用いて、正規化誤差の極限挙動を分析する。
• 離散時間の二阶-Victoirスキームを連続時間へ補間し、漸近的誤差分布を導出する。
• ブラウン運動ベクトル場間のLie括弧 $[\sigma^j, \sigma^m]$ と独立なブラウン運動 $B^{j,m}$ を含む極限定SDEの導出。
• 伊藤の公式および伊藤＝テイラー展開を用いて、スキームと真の解との間の誤差を制御する。
• グロワールの補題を用いて誤差過程のモーメントをバインドし、モーメント安定性を確立する。
• 係数 $b$ および $\sigma^j$ のリプシッツ連続性と正則性の仮定を活用し、モーメント推定と収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化誤差 $\sqrt{N}(X - X^{NV,\eta})$ は、$N \to \infty$ のとき、非退化な極限に分布収束するか？
• RQ2 正規化誤差の漸近的分布を支配する極限定SDEの明示的形は何か？
• RQ3 ブラウン運動ベクトル場間のLie括弧は、極限定誤差分布にどのように影響するか？
• RQ4 極限定誤差が消える条件は何か？ これは収束速度にどのような意味を持つのか？
• RQ5 Eulerスキームに対して既に導出済みのマルチレベルモンテカルロ推定量の中心極限定理を、二阶-Victoirスキームへと適応可能か？

主な発見

• 正規化誤差 $\sqrt{N}(X - X^{NV,\eta})$ は、ブラウン運動ベクトル場のLie括弧と独立なブラウン運動で駆動されるアフィンSDEの解に安定に分布収束する。
• 極限定分布は、Rademacher確率変数 $\eta$ に依存しないことから、符号列の選択に対してスキームの漸近的誤差がロバストであることが示された。
• ブラウン運動ベクトル場が可換である場合、Lie括弧項が消え、極限定誤差過程はゼロとなる。これは、より高い収束速度を示唆する。
• 本稿では、可換な場合に強収束の順序 $1$ を証明し、$[\sigma^j, \sigma^m] = 0$ がすべての $j,m$ に対して成り立つ場合、$1/2$ の収束速度が非鋭でないことを確認した。
• 漸近的分布は、$\partial b(X_s)$ と $\partial\sigma^j(X_s)$ をそれぞれドリフト項と拡散項に含み、Lie括弧からの源項を有するSDEとして特徴づけられる。
• 一般の非可換な場合に、正規化誤差が分布でゼロに収束しないことから、二阶-Victoirスキームの強収束速度が $1/2$ であることが確認された。