[論文レビュー] Asymptotics for weakly dependent errors-in-variables

Michal Pešta|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2013

Spectroscopy and Chemometric Analyses被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非定常的かつ同一分布でない可能性のある $\alpha$-および $\varphi$-混合誤差を有する線形誤差変数（EIV）モデルにおいて、全最小二乗（TLS）推定量の漸近正規性を確立する。主な貢献は、一般の混合条件のもとでTLS推定量の極限正規分布を証明し、ブロックブートストラップ手順による有効な推論を可能にすることにある。

ABSTRACT

Linear relations, containing measurement errors in input and output data, are taken into account in this paper. Parameters of these so-called errors-in-variables (EIV) models can be estimated by minimizing the total least squares (TLS) of the input-output disturbances. Such an estimate is highly non-linear. Moreover in some realistic situations, the errors cannot be considered as independent by nature. Weakly dependent (α- and ϕ-mixing) disturbances, which are not necessarily stationary nor identically distributed, are considered in the EIV model. Asymptotic normality of the TLS estimate is proved under some reasonable stochastic assumptions on the errors. Derived asymptotic properties provide necessary basis for the validity of block-bootstrap procedures.

研究の動機と目的

• 線形誤差変数（EIV）モデルにおける測定誤差が従属する場合の全最小二乗（TLS）推定量の漸近正規性を確立すること。
• i.i.d.誤差仮定を緩和し、$\alpha$-および $\varphi$-混合系列を用いて弱い依存性を許容すること。
• 依存誤差を有するEIVモデルにおけるブロックブートストラップ手順の有効性の理論的基盤を提供すること。
• 誤差の定常性や同一分布性の必要性を排除し、漸近的結果の一般性を高めること。

提案手法

• EIVシステムを $\mathbf{Y} = \mathbf{Z}\bm{\beta} + \bm{\varepsilon}$ および $\mathbf{X} = \mathbf{Z} + \bm{\Theta}$ としてモデル化し、$\mathbf{X}, \mathbf{Y}$ を観測可能、$\mathbf{Z}$ を未観測とし、誤差 $\bm{\varepsilon}, \bm{\Theta}$ が弱い依存性を有することを仮定する。
• 入力変数および出力変数の両方における残差二乗和を最小化することで、全最小二乗（TLS）を用いて $\bm{\beta}$ を推定する。
• 関連誤差ベクトル $[\bm{\Theta}_{i,\bullet}, \varepsilon_i]$ における $\alpha$-および $\varphi$-混合係数を用いて弱い依存性を導入し、非定常的かつ非i.i.d.誤差を許容する。
• 特にBradley（2005）の結果を活用し、混合係数およびモーメント条件に関する関数中心極限定理を適用する。
• モーメント条件および混合減衰率の確認を通じて、TLS推定量の漸近正規性を確立する。特に $\sum_{n=1}^\infty \alpha(\rho_\circ, n)^{\omega/(2+\omega)} < \infty$（$\omega > 0$）を満たすことを示す。
• Cramér-Woldの定理およびSlutskyの定理を用いて、正規化された推定誤差の極限分布を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 EIVモデルにおける誤差がi.i.d.ではなく弱い依存性を示す場合、全最小二乗（TLS）推定量は依然として漸近正規性を有するか？
• RQ2 誤差の定常性や同一分布性を仮定せず、$\alpha$-および $\varphi$-混合条件下でも漸近正規性を確立できるか？
• RQ3 弱い依存性を有するEIVモデルにおけるTLS推定量の漸近正規性を保証するのに十分なモーメント条件および混合速度条件は何か？
• RQ4 $\alpha(n)$ および $\varphi(n)$ の混合係数は、TLS推定量の収束速度および極限分布にどのように影響を与えるか？
• RQ5 導出された漸近正規性を根拠として、弱い依存性を有するEIVモデルにおけるブロックブートストラップ手順の正当化は可能か？

主な発見

• EIVモデルにおける回帰パラメータ $\bm{\beta}$ の全最小二乗（TLS）推定量は、$\alpha$-および $\varphi$-混合誤差のもとで漸近正規性を有する。
• 誤差系列の定常性や同一分布性を仮定せずとも、漸近正規性は成立する。
• TLS推定量の極限分散は $\mathbf{t}^\top \beth \mathbf{t} > 0$ で与えられ、ここで $\beth$ は関連入出力ベクトルの漸近分散・共分散行列である。
• 混合係数は十分に速く減衰する：$\alpha(\rho_\circ, n)^{\omega/(2+\omega)} = \mathcal{O}(n^{-1 - \delta})$（$\delta > 0$）であり、必要なsummability条件を満たす。
• 証明は、$\sum_{n=1}^\infty \mathbb{E}[\xi_n^4]/n^2 < \infty$ および $\varphi(\rho_\circ, n) \to 0$（$n \to \infty$）を満たすことを確認することで成り立つ。これは、提示されたモーメントおよび混合条件のもとで成立する。
• 結果として、漸近正規性が理論的根拠を提供するため、弱い依存性を有するEIVモデルにおけるブロックブートストラップ手順の使用が正当化される。