[論文レビュー] Asymptotics of Brownian motions on classical Lie groups, the master field on the plane, and the Makeenko-Migdal equations

Thierry Lévy|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2011

Random Matrices and Applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、古典的リー群（直交、ユニタリ、シンプレクティック）上のブラウン運動の大N漸近挙動を確立し、非可換分布における収束を明示的な誤差項で証明し、ユークリッド平面上のヤン・ミルズ測度の大N極限を構成する。マケンコ＝ミガルド方程式を厳密に導出し、ウィルソンループ期待値がループ長に依存するレートで決定的収束することを示す。

ABSTRACT

We study the large N asymptotics of the Brownian motions on the orthogonal, unitary and symplectic groups, extend the convergence in non-commutative distribution originally obtained by Biane for the unitary Brownian motion to the orthogonal and symplectic cases, and derive explicit estimates for the speed of convergence in non-commutative distribution of arbitrary words in independent Brownian motions. Using these results, we construct and study the large N limit of the Yang-Mills measure on the Euclidean plane with orthogonal, unitary and symplectic structure groups. We prove that each Wilson loop converges in probability towards a deterministic limit, and that its expectation converges to the same limit at a speed which is controlled explicitly by the length of the loop. In the course of this study, we reprove and mildly generalise a result of Hambly and Lyons on the set of tree-like rectifiable paths. Finally, we establish rigorously, both for finite N and in the large N limit, the Schwinger-Dyson equations for the expectations of Wilson loops, which in this context are called the Makeenko-Migdal equations. We study how these equations allow one to compute recursively the expectation of a Wilson loop as a component of the solution of a differential system with respect to the areas of the faces delimited by the loop.

研究の動機と目的

• ユニタリ群におけるバイアヌの収束結果を直交群およびシンプレクティック群へ拡張すること。
• 独立したブラウン運動の単語における非可換分布における収束速度の明示的推定を導出すること。
• 古典的構造群をもつユークリッド平面上のヤン・ミルズ測度の大N極限を構成・分析すること。
• 有限Nおよび無限大Nにおけるウィルソンループ期待値に対するマケンコ＝ミガルド方程式を厳密に確立すること。
• ウィルソンループ期待値が、そのループの幾何的性質（例えば長さ）に依存するレートで決定的極限に収束することを示すこと。

提案手法

• 非可換確率論的手法を用いて、直交群、ユニタリ群、シンプレクティック群上のブラウン運動の大N漸近挙動を分析する。
• バイアヌの結果を一般化し、非可換分布における収束を直交群およびシンプレクティック群へ拡張する。
• 独立したブラウン運動の任意の単語における非可換分布における収束速度に対する明示的推定を用いる。
• ウィルソンループ観測量の分析を通じて、平面におけるヤン・ミルズ測度の大N極限を構成する。
• ハムブリーとライオンズの木型の区分的滑らか路に関する結果を、大N極限の文脈で再考・一般化する。
• ウィルソンループ期待値のシュヴィンガー＝ダイソン方程式（マケンコ＝ミガルド方程式）を導出し、面積をパrameterとする微分系を用いた再帰的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直交群、ユニタリ群、シンプレクティック群上のブラウン運動は、大N極限においてどのように振る舞うか？
• RQ2 古典的リー群上での独立したブラウン運動の単語における非可換分布における収束速度は何か？
• RQ3 ユークリッド平面上のヤン・ミルズ測度は、ウィルソンループに対して大N極限で決定的極限をもつか？
• RQ4 有限Nおよび大N極限において、マケンコ＝ミガルド方程式を厳密に導出できるか？
• RQ5 ウィルソンループ期待値の収束速度は、そのループの幾何的性質（例えば長さ）にどのように依存するか？

主な発見

• 本稿は、ユニタリの場合にバイアヌが示した結果を、直交群およびシンプレクティック群へ拡張し、非可換分布における収束を確立した。
• 独立したブラウン運動の任意の単語における非可換分布における収束速度について、明示的な推定が得られた。
• ヤン・ミルズ測度の平面における大N極限において、各ウィルソンループは確率的に決定的極限に収束する。
• 各ウィルソンループの期待値は、そのループの長さに依存する明示的レートで、同じ決定的極限に収束する。
• シュヴィンガー＝ダイソン方程式（マケンコ＝ミガルド方程式）は、有限Nおよび大N極限の両方で厳密に導出された。
• ウィルソンループの期待値は、ループが囲む面の面積をパrameterとする微分系の解の成分として再帰的に計算可能である。