[論文レビュー] Asymptotics of coefficients of multivariate generating functions: improvements for smooth points

Alexander Raichev, Mark C. Wilson|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2008

Polynomial and algebraic computation参考文献 14被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、H が正則で p が正の整数である多変数母関数 F = G/H^p の係数の完全な漸近展開を一様かつ明示的な式で得る手法を開発する。特異性解析とフーリエ・ラプラス積分を用いて、先行研究が扱っていた「先頭項」にとどまらず、すべての項を含む展開を拡張し、格子路、量子ランダムウォーク、重複のないパターンといった組合せ的列におけるより高精度な数値近似を可能にする。

ABSTRACT

Let $\sum_{\beta\in ats^d} F_\beta x^\beta$ be a multivariate power series. For example $\sum F_\beta x^\beta$ could be a generating function for a combinatorial class. Assume that in a neighbourhood of the origin this series represents a nonentire function $F=G/H^p$ where $G$ and $H$ are holomorphic and $p$ is a positive integer. Given a direction $\alpha\in\pnats^d$ for which the asymptotics are controlled by a smooth point of the singular variety $H = 0$, we compute the asymptotics of $F_{n \alpha}$ as $n o\infty$. We do this via multivariate singularity analysis and give an explicit formula for the full asymptotic expansion. This improves on earlier work of R. Pemantle and the second author and allows for more accurate numerical approximation, as demonstrated by our examples.

研究の動機と目的

• 先行研究の多変数特異性解析を拡張し、先頭項だけでなく完全な漸近展開を導出すること。
• すべての方向 α ∈ ℕ₊^d に対して、n → ∞ のときの F_{nα} の漸近展開に対する一様な公式を提供すること。
• 高次の項を含めることで、組合せ的応用における数値的精度を向上させること。
• 漸近展開が α に関して一様に有効であるための非退化性および臨界点の条件を確立すること。
• 実用的な計算のため、漸近公式を元のデータ G と H の形で表現すること。

提案手法

• F = G/H^p に対して多変数特異性解析を適用し、H = 0 の滑らかで、厳密に最小の臨界点かつ孤立点である点に注目する。
• 陰関数定理を用いて、滑らかな点の近傍で1つの変数を他の変数の関数として解き、問題を次元を1つ低くした積分に還元する。
• 局所的な F の振る舞いを記述するための補助関数 u_j、e_g、e_u_j を定義する。
• 係数抽出をフーリエ・ラプラス積分に変換し、ホルマンダーおよびエルストの振動積分の漸近展開に関する定理を適用する。
• 位相関数および振幅関数の微分を含む微分作用素 L_k(e_u_j, e_g) を用いて、展開のすべての係数に対する明示的公式を導出する。
• g および u の導関数の上限を用いて、big-oh 定数を評価することで、α に関して展開の一様性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな特異性を持つ多変数母関数 F = G/H^p に対して、先頭項を超えた完全な漸近展開を導出可能か？
• RQ2 F_{nα} の漸近展開を、すべての方向 α ∈ ℕ₊^d にわたって一様にできるか？
• RQ3 臨界点が非退化である場合、展開のすべての高次項に対する明示的公式は存在するか？
• RQ4 展開に複数の項を含めることで、1項近似と比較して数値的精度がどの程度向上するか？
• RQ5 パラメータ p は係数の漸近的構造にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 本稿では、すべての p ≥ 1 およびすべての d ≥ 2 に対して、n → ∞ のときの F_{nα} の完全な漸近展開を一様かつ明示的に与える公式を提供しており、先行研究が p = 1 および先頭項に限られていたのを拡張している。
• d = 2 で非退化臨界点の場合、展開は定理3.3で与えられ、位相関数の最初の零でない導関数の次数を v とすると、(nα_d)^{-2k/v} の項を含む。
• 生成関数 W = A(x)/(1 - yB(x)) を持つ格子路の例では、スナップ数の期待値 E(ψ_n) は漸近的に 3/4 n − 15/32 + O(n^{-1}) となり、2項近似では n = 8 で相対誤差が50%から1%未満にまで低下する。
• 量子ランダムウォークや非重複パターンの応用において、高次項（例：n^{-5/3} 項）を含めることで、1項近似と比較して相対誤差が最大2桁まで低減される。
• 漸近展開は α に関して一様に有効であり、big-oh 定数は位相関数および振幅関数の有限次の導関数の上限によって有界に保たれる。
• 本手法は Maple 11 に実装されており、例題から、多項式展開による近似が1項近似と比較して著しく高い数値的精度を達成することが示されている。