[論文レビュー] Asymptotics of conductors of elliptic curves over Q

Sean Howe, Kirti Joshi|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ℚ 上の楕円曲線の導手の漸近的分布を調査し、Hardy-Littlewood予想のもとで、素数導手が無限に存在することを証明するとともに、Iwaniecの定理を用いて、条件なしでほとんど素数導手および半安定導手が無限に存在することを示している。強いCohen-Lenstraのヒューリスティックを仮定すると、素数導手の上付加密度が約0.686に抑えられ、ほとんどの素数が導手でないことを示唆している。

ABSTRACT

In this note we study numbers which occur as conductors of elliptic curves over Q. We show, by constructing families of elliptic curves with quadratic discriminant and invoking a theorem of Iwaniec, that this set contains infinitely many almost primes. We show, assuming a strong version of the Cohen-Lenstra heuristics, that the set of prime conductors has an explicitly bounded density in the set of primes. Studying the Cremona and Stein-Watkins databases of elliptic curves we conjecture that the set of conductors should be of density zero in the set of natural numbers and that the set of prime conductors should be of density zero in the set of prime numbers.

研究の動機と目的

• ℚ 上の楕円曲線の導手の漸近的密度および分布を理解すること。
• 導手の集合がℕ や素数の集合において正の密度を持つかどうかを特定すること。
• 解析的整数論とヒューリスティックモデルを用いて、素数およびほとんど素数導手の無限性と密度を調査すること。
• CremonaおよびStein-Watkinsのデータベースからのデータに基づき、導手の密度がℕ およびℙ において0であると仮説を立てる。
• Cohen-Lenstra型のヒューリスティックを通じて、2- torsion および類群統計が導手の存在を制約する役割を探索すること。

提案手法

• 二次判別式を持つ無限族の楕円曲線を構成し、素因数が少ない導手を生成する。
• Iwaniecのほとんど素数に関する定理を適用して、条件なしでほとんど素数導手の無限性を確立する。
• 有理数上の2- torsion を持つ楕円曲線のSetzer分類を用い、導手 p = u² + 64 となる素数の形と導手の存在を結びつける。
• 自明な2- torsion を持つ曲線の存在を、二次体 ℚ(√±p) および ℚ(√±2p) の類数の3次可除性条件に翻訳する。
• 8を法とする特定の合同類に属する素数判別式を持つ二次体に対して、精錬されたCohen-Lenstra ヒューリスティックを適用する。
• 類群統計とヒューリスティックモデルにおける独立性仮定を組み合わせることで、素数導手の上付加密度を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℚ 上の楕円曲線の導手の集合は、ℕ において正の密度を持つか？
• RQ2 ℚ 上の楕円曲線に対して、素数導手が無限に存在するか？
• RQ3 すべての素数の集合内における素数導手の上付加密度はいかほどか？
• RQ4 二次体の類群統計は、与えられた導手を持つ楕円曲線の存在とどのように関係するか？
• RQ5 素数判別式に対する精錬されたCohen-Lenstra ヒューリスティックを用いて、導手の分布をモデル化できるか？

主な発見

• Hardy-Littlewood予想を仮定すると、ℚ 上の楕円曲線に対して素数導手が無限に存在する。
• 条件なしで、Iwaniecのほとんど素数に関する定理を用いて、ほとんど素数導手および半安定導手が無限に存在することが示された。
• 強いCohen-Lenstra型の予想を仮定すると、すべての素数の集合内における素数導手の上付加密度は、最大で約0.686に抑えられる。
• 10⁸ までのデータベースからの数値的証拠とヒューリスティックな推論に基づき、導手の集合はℕ において密度0である。
• データとCohen-Lenstra ヒューリスティックに条件づけて、素数導手の集合はすべての素数の集合において密度0である。
• 連続する非導手の連続は無限に長くなる。データでは長さ45以上の連続が観測されており、任意に長いギャップが存在する可能性を示唆している。