[論文レビュー] Asymptotics of empirical distribution function for Gaussian subordinated arrays with an application to multiple testing

Sylvain Delattre, Étienne Roquain|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2012

Point processes and geometric inequalities被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、次元に依存する相関行列を有する非定常かつ高次元のガウス分布ベクトル成分の経験分布関数（e.d.f.）に対する漸近理論を構築する。e.d.f. の挙動が、単一の列 $ \gamma_m = m^{-2} \sum_{i \neq j} \Gamma_{i,j}^{(m)}$ に依存することを示し、非定常かつ長距離相関を持つ設定における多重仮説検定への応用を可能にする。

ABSTRACT

This paper introduces a new framework to study the asymptotical behavior of the empirical distribution function (e.d.f.) of Gaussian vector components, whose correlation matrix $\Gamma^{(m)}$ is dimension-dependent. Hence, by contrast with the existing literature, the vector is not assumed to be stationary. Rather, we make a vanishing second order assumption ensuring that the covariance matrix $\Gamma^{(m)}$ is not too far from the identity matrix, while the behavior of the e.d.f. is affected by $\Gamma^{(m)}$ only through the sequence $\gamma_m=m^{-2} \sum_{i eq j} \Gamma_{i,j}^{(m)}$, as $m$ grows to infinity. This result recovers some of the previous results for stationary long-range dependencies while it also applies to various, high-dimensional, non-stationary frameworks, for which the most correlated variables are not necessarily next to each other. Finally, we present an application of this work to the multiple testing problem, which was the initial statistical motivation for developing such a methodology.

研究の動機と目的

• 定常ガウス過程に限らない経験分布関数の漸近理論を拡張すること。
• 相関が局所的でも定常的でもない高次元非定常ガウス配列をモデル化すること。
• e.d.f. の漸近的挙動を支配する十分統計量 $\gamma_m = m^{-2} \sum_{i \neq j} \Gamma_{i,j}^{(m)}$ を同定すること。
• 複雑で非定常な高次元設定における多重仮説検定手順の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 相関行列 $\Gamma^{(m)}$ に対して、$m \to \infty$ の際に恒久的に単位行列に近づく第二階層条件を導入する。
• 集団的依存構造を捉えるために、キーフィーチャー列 $\gamma_m = m^{-2} \sum_{i \neq j} \Gamma_{i,j}^{(m)}$ を定義する。
• 全相関行列構造に依存せず、$\gamma_m$ のみを用いて経験分布関数の漸近分布を確立する。
• e.d.f. の漸近的結果を多重仮説検定に応用し、帰無分布が $\gamma_m$ に依存する検定統計量を導出する。
• 集中法および弱収束技術を用いて、$\gamma_m$ を用いた正規化のもとでのe.d.f.の収束を証明する。
• 本手法が、定常的長距離相関過程の既知の結果を特別な場合として回復できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元に依存する相関行列を有する高次元非定常ガウス配列に対して、経験分布関数の漸近的挙動はどのように振る舞うか？
• RQ2 全相関行列ではなく、単一のスカラー列 $\gamma_m$ を用いてe.d.f.の漸近的挙動を特徴づけることは可能か？
• RQ3 提案された枠組みは、定常的長距離相関過程を特別な場合として含むか？
• RQ4 この理論は、高次元非定常設定における多重仮説検定に応用可能か？

主な発見

• 経験分布関数の漸近的分布は、$\Gamma^{(m)}$ の全構造に依存せず、単に列 $\gamma_m = m^{-2} \sum_{i \neq j} \Gamma_{i,j}^{(m)}$ に依存する。
• 非定常性および非局所的相関を許容することで、定常的長距離相関過程に対する既存の結果を一般化する。
• 最も相関の強い変数が必ずしも隣接しているかクラスタリングされているわけではない高次元設定にも適用可能である。
• $\gamma_m$ が捉える弱い依存性仮定を反映した、弱依存仮定のもとでの多重仮説検定問題における有効な推論を理論的に支持する。