[論文レビュー] Asymptotics of Jack polynomials as the number of variables goes to infinity

Andreĭ Okounkov, Grigori Olshanski|ArXiv.org|Sep 5, 1997

Random Matrices and Applications参考文献 16被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、θ > 0 における任意のパラメータに対して、Vershik と Kerov による U(∞) の漸近的キャラクターの分類を、Jack 多項式へ一般化する。符号列が正則である（すなわち、正規化された Jack 関数が無限トーラス T^∞ のコンパクト集合上で一様収束する）ための必要十分条件が、Vershik-Kerov 条件に一致することを確立する。極限は、θ = 1 の場合のシュール関数への一般化として、パrameters α±, β±, γ± に関する無限積として明示的に計算される。

ABSTRACT

In this paper we study the asymptotic behavior of the Jack rational functions as the number of variables grows to infinity. Our results generalize the results of A. Vershik and S. Kerov obtained in the Schur function case (theta=1). For theta=1/2,2 our results describe approximation of the spherical functions of the infinite-dimensional symmetric spaces $U(\infty)/O(\infty)$ and $U(2\infty)/Sp(\infty)$ by the spherical functions of the corresponding finite-dimensional symmetric spaces.

研究の動機と目的

• シュール多項式（θ=1）からの対称関数の漸近理論を、任意の θ > 0 における Jack 多項式へ拡張すること。
• 正規化された Jack 関数が無限トーラス T^∞ のコンパクト集合上で一様収束するような符号列の特徴付けをすること。
• すべての変数のうち、有限個を除き 1 に設定する条件の下で、変数数 n → ∞ のときの正規化された Jack 多項式の極限に対する明示的公式を提供すること。
• 元々シュール関数の場合（θ=1）に定義された Vershik-Kerov 条件を、符号（符号付き整数分割）へ一般化し、それが正則性の必要十分条件であることを示すこと。

提案手法

• 正規化された Jack 関数 Φ_λ(n)(z;θ) := P_λ(n)(z;θ)/P_λ(n)(1,…,1;θ) を導入し、点 (1,1,…) における収束を保証する。
• 符号列 λ(n) が、Φ_λ(n) が T^∞ のコンパクト集合上で一様収束する場合に正則であると定義する。
• 分割の列に対して定義された Vershik-Kerov 条件を採用する：α_i = lim λ_i(n)/n、β_i = lim λ'_i(n)/n、δ = lim |λ(n)|/n の極限の存在。
• 符号列へこれらの条件を拡張するため、λ(n) を正の部分 λ^+(n) と負の部分 λ^−(n) に分割し、対応する α^±_i、β^±_i、γ^± パrameter を定義する。
• 母関数技法と帰納法を用いて、Jack 框組における「原始的対称関数」に類似した関数の母関数の閉形式表現を導出する。
• 主結果の根拠となる母関数の公式を検証するために、Gauss 超幾何級数の q-アナロジーを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号列 λ(n) に対して、正規化された Jack 多項式 Φ_λ(n)(z;θ) が n → ∞ のとき T^∞ のコンパクト集合上で一様収束するための条件は何か？
• RQ2 収束が成立する場合、極限関数 lim_{n→∞} Φ_λ(n)(z;θ) の明示的形は何か？
• RQ3 元々 θ=1 のシュール関数の場合に知られていた Vershik-Kerov 条件は、任意の θ > 0 における Jack 多項式へどのように一般化されるか？
• RQ4 極限関数は z_j ごとの積に因数分解可能か？各 z_j に対応する因子の関数的形は何か？
• RQ5 パrameter α^±_i、β^±_i、γ^± は、Jack 多項式の漸近的挙動を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 符号列 λ(n) が正則であるための必要十分条件は、λ^+(n) および λ^−(n) それぞれについて Vershik-Kerov 条件が満たされること、すなわち α^±_i、β^±_i、γ^± の極限が存在して有限であることである。
• 正規化された Jack 関数の極限は、無限積 ∏_{j≥1} φ_{α,β,γ}(z_j) で与えられ、φ_{α,β,γ}(z) は α^±_i、β^±_i、γ^± パrameter とパラメータ θ を含む明示的な積である。
• 極限関数 φ_{α,β,γ}(z) は、e^{γ^+(z−1)+γ^−(z^{−1}−1)} に、(1 + β^±_i(z−1)) および (1 − α^±_i(z−1)/θ)^{-θ} の有理関数を乗じた形で表され、シュール関数の場合の θ-変形が反映されている。
• 収束は T^∞ のコンパクト集合上で一様であり、正規化により (1,1,…) における極限が適切に定義されている。
• 本結果は、古典的な Vershik-Kerov 定理（θ=1）を、すべての Jack 多項式へ一般化する。
• 証明は、帰納法と q-アナロジーによる Gauss 乗法和公式を用いた、Jack 対称関数の母関数恒等式に依拠しており、極限の構造を裏付ける。