[論文レビュー] Asymptotics of PDE in random environment by paracontrolled calculus

Tadahisa Funaki, Masato Hoshino+2 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、1次元のランダム環境におけるスムージングされたノイズを伴う非線形確率偏微分方程式の漸近的挙動を、パラコントロール微積分を用いて研究し、空間的白色ノイズを伴う極限SPDEへの収束を示している。主な貢献は、再正規化を要しない極限方程式の局所的適切性の確立および解に関する比較定理の証明である。

ABSTRACT

We apply the paracontrolled calculus to study the asymptotic behavior of a certain quasilinear PDE with smeared mild noise, which originally appears as the space-time scaling limit of a particle system in random environment on one dimensional discrete lattice. We establish the convergence result and show a local in time well-posedness of the limit stochastic PDE with spatial white noise. It turns out that our limit stochastic PDE does not require any renormalization. We also show a comparison theorem for the limit equation.

研究の動機と目的

• 1次元のランダム環境における弱いノイズを伴うゼロレンジ過程の流体力学的スケーリング極限を分析すること。
• スムージングされたノイズを伴う非線形PDEの解が、空間的白色ノイズを伴う極限確率偏微分方程式に収束することを確立すること。
• 極限SPDEの局所的時間における適切性を再正規化を要せず証明すること。
• 非線形項に適切な条件を課した下で、極限方程式の解に関する比較定理を構築すること。
• トーラス上でのSPDEの統合形に対して、修正された周期的境界条件を用いて解析を拡張すること。

提案手法

• 空間的白色ノイズを伴う特異なSPDEを取り扱うために、パラコントロール微積分を用いる。
• 方程式を統合形で分析する：$\partial_t u = a(\nabla u)\Delta u + g(\nabla u)\cdot\xi$、ここで $a = \varphi'$、$g = \chi$、$\xi$ は時空間的白色ノイズである。
• トーラス $\mathbb{T} = [0,1]$ 上で、質量保存を保つために $u(t,x+n) = u(t,x) + nm$ という修正された周期的境界条件を用いる。
• 部分積分およびグリーン関数の技法を用いて、スムージングされたノイズ $\psi^\varepsilon * \dot{w}$ をブラウン運動の勾配と関連付ける。
• ノイズ項 $\nabla X^\varepsilon \cdot \xi^\varepsilon$ が $\varepsilon \downarrow 0$ の下で $-\frac{1}{2}\nabla(\int \psi^\varepsilon(x-y)w(y)dy)^2$ に収束することを確立する。
• 事前推定およびシューディンガー型の議論を用いて正則性を制御し、局所的時間において存在および一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スムージングされたノイズを伴う非線形PDEの解は、空間的白色ノイズを伴う極限SPDEに収束するか？
• RQ2 1次元設定において、再正規化を要さずに極限SPDEが適切に定義可能か？
• RQ3 極限SPDEの解に対して、どのような条件下で比較原理が成立するか？
• RQ4 ノイズの構造および非線形性は、解の正則性および長期的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 SPDEの統合形は、元の式の解析を簡略化するために果たす役割は何か？

主な発見

• スムージングされたノイズを伴う非線形PDEの解 $v^\varepsilon$ は、空間的白色ノイズ $\xi$ を伴う極限SPDE $\partial_t v = \Delta\{\varphi(v)\} + \nabla\{\chi(v)\xi\}$ の解に収束する。
• 極限SPDEは再正規化を要せず、時間的に局所的に適切に定義されており、他の特異なSPDEと比較して顕著な簡素化である。
• 比較定理が確立された：$v_1(0) \geq v_2(0)$ ならば、すべての $t \geq 0$ に対して $v_1(t) \geq v_2(t)$ が成り立つ、ただし $|\chi'(v)| \leq C\varphi'(v)$ を満たすものとする。
• $\chi(0) = 0$ ならば、初期データ $v(0) \geq 0$ の非負性がすべての時間にわたって保存される。
• ノイズ項 $\nabla X^\varepsilon \cdot \xi^\varepsilon$ は $\varepsilon \downarrow 0$ の下で $-\frac{1}{2}\nabla(\int \psi^\varepsilon(x-y)w(y)dy)^2$ に収束し、これは $C^{\frac{1}{2}-\delta}$ において $\nabla w(x)^2$ に収束する。
• 解析は質量保存を保つために修正された周期的条件を用いたトーラス上で行われ、解 $u$ は $u(t,x+n) = u(t,x) + nm$ を満たす。