[論文レビュー] Asymptotics of Queue Length Distributions in Priority Retrial Queues

Joris Walraevens, Dieter Claeys+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2018

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、確率生成関数の特異点解析を用いて、2クラスの優先順位付き再試行M/G/1キューにおけるオービット長分布の漸近的尾部挙動を導出する。2つの明確な定常状態が特定される—'優先順位状態'では指数的減衰がべき則因子によって変調され、'再試行状態'では再試行率が部分的指数的減衰を変化させ、非優先順位再試行キューと類似した漸近的挙動を示す。

ABSTRACT

We calculate asymptotics of the distribution of the number of customers in orbit in a two-class priority retrial $M/G/1$-type queueing model. In this model, priority customers wait in line while non-priority customers join an orbit and retry later. Although the generating function and moments of the number of customers in orbit has been analyzed before, asymptotics of the distribution have not been thoroughly investigated. We use singularity analysis of the probability generating function to do just that. Our results show that different regimes exist for these asymptotics in case of light-tailed service times: in what we call the `priority regime', the tail asymptotics have the same decay ($\sim cn^{-3/2}R^{-n}$) as in the priority non-retrial queue and the retrial rate only influences the constant $c$. In the `retrial regime', the retrial rate also influences the sub-exponential factor of the asymptotics. In this regime, asymptotics are very similar to asymptotics in retrial queues without (priority) waiting line. Finally, we also analyze the case that the service time distribution is power law (with or without exponential cut-off) using the same technique.

研究の動機と目的

• 2クラスの優先順位付き再試行M/G/1キューにおけるオービット内にいる顧客数の漸近的挙動を調査すること。このモデルは、優先順位を持つ顧客がキューイングする一方、非優先順位顧客がブロッキング後に再試行するものである。
• 従来のキューイングシステムや単一クラスの再試行システムに焦点を当てたキュー長の漸近的挙動に関する既存の知見を、より複雑な優先順位付き再試行設定に拡張すること。
• 再試行率とサービス時間分布がオービット長分布の重尾的または軽尾的減衰に与える影響を特定すること。
• 特にセルラー通信網やコールセンタなどの応用分野において、極端な混雑状態下でのシステム性能の洗練された理解を提供すること。

提案手法

• オービット長の確率生成関数（PGF）の特異点解析を用いて、尾部挙動の漸近的性質を抽出する。
• PGFを優先順位キューと再試行オービットを表す成分に分解し、z=1における主要な特異点の近傍でその特異点を分析する。
• 軽尾的およびべき則的サービス時間分布の2つを区別し、それぞれに適した漸近的技術を適用する。
• 軽尾的サービス時間の場合は、再試行率が部分的指数的減衰要因に与える影響に基づき、'優先順位状態'と'retrial状態'の2つの状態を同定する。
• べき則的サービス時間の場合は、滑らかな陰関数スキームを用いてPGFの漸近的挙動を特徴付け、べき則的尾部減衰を導出する。
• 導出には陰関数定理と、システム G(r,s)=s および G_w(r,s)=1 の解の存在を用い、主要な特異点 R_h を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再試行率は、優先順位付き再試行キューにおけるオービット長分布の尾部減衰にどのように影響するか？
• RQ2 サービス時間分布と再試行メカニズムに応じて、オービット長分布に明確な漸近的状態が存在するか？
• RQ3 オービット長の漸近的挙動は、標準的優先順位キューおよび非再試行キューと比較してどう異なるか？
• RQ4 べき則的サービス時間分布がオービット長の尾部挙動に与える影響は何か？
• RQ5 PGFの特異点解析は、オービット長分布における部分的指数的減衰要因を正確に捉えることができるか？

主な発見

• 軽尾的サービス時間の'優先順位状態'では、オービット長の尾部は ∼cn⁻³/²R⁻ⁿ として減衰し、再試行率は定数cにのみ影響し、減衰率に影響しない。
• retrial状態では、再試行率が部分的指数的因子に影響を与え、非優先順位再試行キューと類似した漸近的挙動を示す。
• 指数α_B*のべき則的サービス時間の場合は、オービット長分布は ∼n^(α_B*−1) として減衰し、指数はサービス時間の尾部とシステムパラメータに依存する。
• オービット長分布 q(n) の漸近的挙動は、G(r,s)=s および G_w(r,s)=1 の解によって決定される主要な特異点 R_h に支配される。
• r(n) および p₂(n) の導出された漸近的挙動は同一であり、∼n^α_B* としてスケーリングされ、べき則的サービス時間下では再試行と優先順位の成分が同じ重尾的挙動を示すことを示している。
• 解析により、サービス時間分布がタイプ1である場合、生成関数 h(z) に滑らかな陰関数スキームが適用可能であり、主要な平方根特異点 R_h の存在が保証されることが確認された。