[論文レビュー] Asymptotics of the density of parabolic Anderson random fields

Yaozhong Hu, Khoa Lê|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、マルヤヴィン微積分と小さな確率の推定を用いて、乗法的ガウスノイズを伴う放物型アンダーソン方程式の解の密度 $ρ(t,x;y)$ の鋭い上界と下界を確立する。密度の漸近的挙動を2つの状況で導出する：$y \to \infty$（右裾）および$t \to 0^+$（左裾）で、定数を除いて一致する対数的減衰率を示し、間欠性に起因する非ガウス型の重尾的挙動を明らかにする。非負の初期データに対しても結果は拡張可能であり、$y \to 0^+$ における $\rho(t,x;y)$ の新たな上界が得られる。この手法は、ノイズのための新しい近似スキームと、小さな確率の推定を用いたマルヤヴィン共分散行列の制御に依存する。

ABSTRACT

We investigate the sharp density $ρ(t,x; y)$ of the solution $u(t,x)$ to stochastic partial differential equation $\frac{\partial }{\partial t} u(t,x)=\frac12 Δu(t,x)+u\diamond \dot W(t,x)$, where $\dot W$ is a general Gaussian noise and $\diamond$ denotes the Wick product. We mainly concern with the asymptotic behavior of $ρ(t,x; y)$ when $y ightarrow \infty$ or when $t o0+$. Both upper and lower bounds are obtained and these two bounds match each other modulo some multiplicative constants. If the initial datum is positive, then $ρ(t,x;y)$ is supported on the positive half line $y\in [0, \infty)$ and in this case we show that $ρ(t,x; 0+)=0$ and obtain an upper bound for $ρ(t,x; y)$ when $y ightarrow 0+$.

研究の動機と目的

• 解 $u(t,x)$ の確率密度関数 $\rho(t,x;y)$ の存在と滑らかさを確立すること。
• 固定された $t,x$ に対して $y \to \infty$ および $t \to 0^+$ の漸近的状況において、$\rho(t,x;y)$ の鋭い上界と下界を導出すること、特に初期条件が非負である場合に注目する。
• 右裾および左裾における密度の対数的減衰率を特定し、間欠性に起因する非ガウス型の重尾的挙動を示すこと。
• 一般のノイズ設定において、小さな確率の推定とマルヤヴィン微積分の推定を制御できるようにする、ガウスノイズのための新たな近似スキームを開発すること。

提案手法

• 著者らは、マルヤヴィン共分散行列がすべての順序の負のモーメントを持つことを示すことで、密度の滑らかさを証明するマルヤヴィン微積分を用いる。
• マルヤヴィン行列の制御の中心的役割を果たす、$a \to 0^+$ のときの $P(\|Du(t,x)\|_{\mathcal{H}} \leq a)$ の小さな確率推定を導出する。
• 標準的な離散近似とは異なり、空間時間白色ノイズを含む一般の共分散構造を扱えるように、ガウスノイズのための新しい近似スキームを導入する。
• 密度の境界は、修正されたギルサノフ型の公式を用いて導出され、マルヤヴィン微分と正の確率変数 $A(t,x)$ を含む表現式が得られる。
• 密度式にホルダーの不等式を適用することで、$\rho(t,x;y)$ を $P(u(t,x) \geq y)$ の尾確率と $\mathbb{E}[A(t,x)]$ の期待値に関連付ける。
• モーメント推定と、定理4.6からの尾確率の境界を組み合わせることで、漸近的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的ガウスノイズを伴う放物型アンダーソン方程式の解 $u(t,x)$ は、滑らかな確率密度関数 $\rho(t,x;y)$ を持つか？
• RQ2 固定された $t,x$ に対して $y \to \infty$ のとき、$\rho(t,x;y)$ の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ3 $y$ がゼロから離れて固定されているとき、$t \to 0^+$ のとき $\rho(t,x;y)$ はどのように振る舞うか？
• RQ4 初期条件が非負であるとき、$y \to 0^+$ のとき $\rho(t,x;y)$ の挙動は何か？
• RQ5 密度の境界が、対数スケールにおいて乗法的定数を除いて一致するほど鋭いものか？

主な発見

• 大きな $y$ に対して、密度は $\rho(t,x;y) \geq \tilde{c}_1 t^{-(4-2\alpha_0-\alpha)/2} \exp\left(-\tilde{c}_2 t^{-(4-2\alpha_0-\alpha)/2} (\log(\tilde{c}_3 y))^{(4-\alpha)/2}\right)$ を満たし、定数を除いて上界と一致する。
• 1次元の空間時間白色ノイズの場合、右裾の挙動は $y \to \infty$ のとき $\rho(t,x;y) \asymp \exp\left(-c t^{-1/2} (\log y)^{3/2}\right)$ である。
• $t \to 0^+$ で固定された $x,y > a_0$ のとき、密度は $\rho(t,x;y) \leq C(T) t^{-(4-2\alpha_0-\alpha)/4} \exp\left(-(-c_1(T)\log y - c_2(T))^2\right)$ を満たし、$\log y$ の二重指数的減衰を示す。
• $y \to 0^+$ のとき、本稿は $\rho(t,x;y) \leq C(T) t^{-(4-2\alpha_0-\alpha)/4} \exp\left(-(-c_1(T)\log y - c_2(T))^2\right)$ という、従来の境界とは異なる新たな上界を提供し、非負の初期データ下での左裾挙動を捉える。
• 両裾における密度の対数的減衰率が、乗法的定数を除いて下界と上界と一致することを示し、鋭い漸近的性質を確認する。
• この手法は、時間に白色な場合やフェインマン・カック表現可能な場合に限らず、[HHNT] に示されるような一般の共分散構造に対しても成功裏に拡張可能である。