[論文レビュー] Asymptotics of the Fourier and Laplace transforms in weighted spaces of analytic functions

V. Matsaev, Mikhail Sodin|ArXiv.org|Nov 4, 2001

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、対数的重み関数に関する条件下で、それぞれ解析的・整関数の重み付き空間におけるフーリエ変換およびラプラス変換の鋭い漸近的推定を確立する。主な結果は、逆フーリエ変換の原点近傍における対数的減衰率が、重み関数の対数的モジュラスのレジェンドル変換と一致することであり、重み関数の成長に関する正則性条件のもとで、明確な誤差項が得られる。

ABSTRACT

We study the asymptotics near the origin of the Fourier transform in weighted Hardy spaces of analytic functions in the upper half-plane, and of the Laplace transform in weighted spaces of entire functions of zero exponential type. These results are applied to two closely related problems posed by E. Dyn'kin: we find the asymptotics of the depth of zero in non-quasianalytic Denjoy-Carleman classes, and of the exact Levinson-Sjoberg majorant.

研究の動機と目的

• 上半平面上の重み付きハーディー空間における関数の逆フーリエ変換の漸近的挙動を特定すること。
• 指数型がゼロである整関数のラプラス変換の成長を、重み付き空間において分析すること。
• E. Dyn’kin が提示した2つの問題を解決すること：非擬解析的 Denjoy-Carleman 班におけるゼロの深さ、および正確な Levinson-Sjöberg の主要項。
• 重み関数のレジェンドル変換を用いて、逆フーリエ変換およびラプラス変換の $ L^\infty $ ノルムの明確な漸近公式を確立すること。

提案手法

• 外的重み関数 $ W $ を用いて重み付きハーディー空間 $ H^p(W) $ を定義し、$ W $ は非負で偶関数かつ増加する対数的重み関数 $ \varphi $ によって定まる。
• 関数 $ f \in H^p(W) $ に対して、逆フーリエ変換 $ \mathcal{F}^{-1}f(s) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb{R}} f(x)e^{-isx}dx $ を定義し、上半平面上への解析接続を行う。
• 原点におけるゼロの深さを測る関数 $ \rho_{p,W}(s) = \sup_{\|f\|_{H^p(W)} \leq 1} |(\mathcal{F}^{-1}f)(s)| $ を導入する。
• レジェンドル変換 $ Q(s) = \sup_{y>0} \left[ \log|W(iy)| - ys \right] $ を定義し、これが $ \rho_{p,W}(s) $ の漸近的減衰を支配する。
• 複素解析的手法を用い、特にフラームェン＝リンドェルーフの原理、クレイン＝アキエゼル因子分解、および $ q(y) = \log|W(iy)| $ の三階微分に関する推定を用いて境界を導出する。
• ドマールおよびボリチェフの結果（非負のテイラー係数をもつ整関数に関するもの）を応用し、漸近的境界に達する極値関数を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $ f \in H^p(W) $ に対して、$ s \to 0 $ のときの逆フーリエ変換 $ \mathcal{F}^{-1}f(s) $ の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ2 整関数 $ f \in B(W) $ が指数型ゼロであるとき、$ \zeta \to 0 $ のときのラプラス変換 $ \mathcal{L}f(\zeta) $ の成長はどのように振る舞うか？
• RQ3 E. Dyn’kin が提起した問題として、非擬解析的 Denjoy-Carleman 班におけるゼロの正確な深さは何か？
• RQ4 Levinson-Sjöberg の主要項の正確な形は何か？ また、重み関数の成長とどのように関係するか？
• RQ5 対数的重み関数 $ \varphi $ にどのような条件下で、$ s \to 0 $ のとき $ \log \rho_{p,W}(s) \sim -Q(s) $ が成り立つか？

主な発見

• 条件 (v) の下で、$ s \to 0 $ のとき $ \log \rho_{p,W}(s) = -(1+o(1))Q(s) $ が成り立ち、ここで $ Q(s) $ は $ \log|W(iy)| $ のレジェンドル変換である。
• 極値関数 $ f = 1/W $ は、$ s \to 0 $ のとき $ \left(\mathcal{F}^{-1}\frac{1}{W}\right)(s) = (1+o(1))\sqrt{Q^{\prime\prime}(s)}\,e^{-Q(s)} $ を満たす。
• もし $ \varphi $ が正の下位型を持つならば、$ s \to 0 $ のとき $ \log \rho_{p,W}(s) = -Q(s) + O(\log Q(s)) $ が成り立つ。
• ラプラス変換に関しては、$ \lambda_W(s) = \sup_{\|f\|_{B(W)} \leq 1} |(\mathcal{L}f)(-is)| $ が、同じ条件下で $ \lambda_W(s) \asymp \sqrt{Q^{\prime\prime}(s)}\,e^{Q(s)} $ を満たす。
• 条件 (i)–(iv)、(iv-b)、(vii) を満たす $ \varphi $ を持つ重み関数に対して、ボリチェフの結果を用いて、$ \lambda_W(s) \asymp \sqrt{Q^{\prime\prime}(s)}\,e^{Q(s)} $ が非条件的（条件なし）に成り立つ。
• 関数 $ q(y) = \log|W(iy)| $ は凹関数かつ増加関数であり、$ y \to \infty $ のとき $ q'(y) \to 0 $ を満たし、与えられた仮定のもとで $ Q(q'(y)) \asymp \varphi(y) $ が成り立つ。