[論文レビュー] Asymptotics of the Gelfand models of the symmetric groups

Pierre‐Loïc Méliot|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2010

Random Matrices and Applications参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、分割の次元に比例する確率を割り当てるGelfand測度におけるランダムな分割の漸近的挙動を、非可換モーメント法を用いて調査する。第一階層の極限形状はPlancherel測度と同様にLogan-Shepp-Kerov-Vershik曲線に一致するが、第二階層のフラクチュエーションはより大きく、Kerovの中心極限定理とは異なり、√2スケーリングおよび追加の確定的シフトを伴う修正された一般化ガウス過程を含む。

ABSTRACT

If a partition $λ$ of size n is chosen randomly according to the Plancherel measure $P_n[λ] = (\dim λ)^2/n!$, then as n goes to infinity, the rescaled shape of $λ$ is with high probability very close to a non-random continuous curve $Ω$ known as the Logan-Shepp-Kerov-Vershik curve. Moreover, the rescaled deviation of $λ$ from this limit shape can be described by an explicit generalized gaussian process. In this paper, we investigate the analoguous problem when $λ$ is chosen with probability proportional to $\dim λ$ instead of $(\dim λ)^2$. We shall use very general arguments due to Ivanov and Olshanski for the first and second order asymptotics (cf. arXiv:math/0304010); these arguments amount essentially to a method of moments in a noncommutative setting. The first order asymptotics of the Gelfand measures turns out to be the same as for the Plancherel measure; on the contrary, the fluctuations are different (and bigger), although they involve the same generalized gaussian process. Many of our computations relie on the enumeration of involutions and square roots in $S_n$.

研究の動機と目的

• Gelfand測度におけるランダムな分割の漸近的分布を分析すること。ここで、分割λの確率はdim λに比例する。
• 古典的Plancherel測度と比較して、Gelfand測度の第一および第二階層の漸近的挙動を調査すること。
• varianceの違いにもかかわらず、両者に共通する一般化ガウス過程がフラクチュエーションに寄与しているかどうかを特定すること。
• IvanovおよびOlshanskiの結果を活用して、非可換モーメント法をGelfand測度の設定に拡張すること。
• β-Plancherel測度と確率的行列理論におけるβ-アンサンブルとの広範な関係を予想すること。

提案手法

• IvanovおよびOlshanskiが開発した非可換モーメント法を、対称群上のGelfand測度の第一および第二階層の漸近的挙動を分析するために適用する。
• Gelfand測度が各サイズnの分割λに対して確率をdim λに比例して割り当てるという事実を利用する。
• 対称群𝔖_nにおける対合および平方根の数え上げに依存してモーメントを計算する。
• ヤング図の形状を√nの係数でスケーリングし、n→∞の極限において、極限曲線Ω(s)からの逸脱を検討する。
• スペクトル分解を用いて、チェビシェフ多項式およびθにおけるフーリエ級数（s=2cosθ）を用いて、極限フラクチュエーション過程を導出する。
• 主要な式は、独立な標準ガウス変数ζkとsinθを含む確定的項を含む和として、極限逸脱Δ∞,G(s)を表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 𝔖_nにおけるGelfand測度は、nが大きい極限においてPlancherel測度と同じ極限形状に収束するか？
• RQ2 Gelfand測度下でのスケーリングヤング図の形状の第二階層フラクチュエーションは、Plancherel測度下のそれとどのように異なるか？
• RQ3 Kerovの中心極限定理における一般化ガウス過程は、Gelfand測度に対しても有効であるか、それとも修正されているか？
• RQ4 非可換モーメント法は、Gelfand測度に成功裏に適用可能か？
• RQ5 Gelfand測度（β=1）と確率的行列理論におけるβ-アンサンブルとの関係は何か？

主な発見

• Gelfand測度におけるランダムな分割の第一階層漸近的極限形状は、Logan-Shepp-Kerov-Vershik曲線に正確に一致し、Plancherel測度と同様に同一の決定的極限形状に収束することが確認された。
• Gelfand測度下の第二階層フラクチュエーションは、Plancherel測度下のそれよりも大きく、極限過程のガウス成分に√2スケーリング因子が存在する。
• 極限フラクチュエーション過程Δ∞,G(s)は、Δ∞,G(2cosθ) = 1/2 − (2sinθ)/π + √2 Δ∞,P(2cosθ)として与えられる。ここでΔ∞,PはKerovの中心極限定理からの一般化ガウス過程である。
• Plancherelの場合にない、非確率的確定的項1/2 − (2sinθ)/πが極限過程に含まれる。
• 同じ一般化ガウス過程Δ∞,PがGelfandおよびPlancherel両ケースに現れるが、振幅が異なり、Gelfandケースには追加のシフトが存在する。
• 結果は、一般のβ > 0に対してβ-Plancherel測度が同様の漸近的挙動を示すという予想を支持しており、フラクチュエーションは√(2/β)スケーリング、βに依存する確定的シフトを伴う。