[論文レビュー] Asymptotiques de nombres de Betti d'hypersurfaces projectives réelles

Frédéric Bihan|ArXiv.org|Dec 12, 2003

Polynomial and algebraic computation参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、複素射影空間内の実射影的超曲面およびその2重被覆のベッチ数の漸近的成長を調査する。凸関数と符号分布を用いたヴィロの組み合わせ的技法により、$\zeta_{i,n}$ および $\delta_{i,n}$ と呼ばれる極限定数の存在を確立し、$m,k \to \infty$ のとき $\max b_i(\mathbb{R}X_m^n)/m^n \to \zeta_{i,n}$ および $\max b_i(\mathbb{R}Y_{2k}^n)/k^n \to \delta_{i,n}$ となることを示す。さらに $n \geq 5$ のとき、すべての実超曲面が $T$-超曲面ではないことを証明し、$\zeta_{0,3}$ および $\zeta_{1,3}$ の明示的な下界を示している。

ABSTRACT

We are interested in the maximal values of the Betti numbers b_i({\mathbb R}X_m^n) for fixed i,m,n; where {\mathbb R}X_m^n is the real part of a real nonsingular hypersurface of degree m in the complex projective space {\mathbb C}P^n, and in the maximal values of the Betti numbers b_i({\mathbb R}Y_{2k}^n) for fixed i,k,n; where {\mathbb R}Y_{2k}^n is the real part of a double covering Y_{2k}^n of{\mathbb C}P^n ramified over some real nonsingular hypersurface of degree 2k. We show the existence of limits lim_{m -> +\infty} [Max b_i({\mathbb R}X_m^n)]/m^n=h_{i,n} and lim_{k -> +\infty} [Max b_i({\mathbb R}Y_{2k}^n)]/k^n =d_{i,n}. We construct real nonsingular hypersurfaces as small perturbations of double hypersurfaces using the Viro method. This construction enables us to obtain recursive lower bounds for the h_{0,n} and d_{0,n}, and inequalities h_{0,3} >= d_{0,2}/6+1/12, h_{1,3} >= d_{1,2}/6+1/6. As applications, we show the existence, for any integer n >= 5, of real algebraic hypersurfaces in {\mathbb C}P^n which are not T-hypersurfaces, and we prove inequalities 35/96 <= h_{0,3} <= 5/12, 35/48 <= h_{1,3} <= 5/6.

研究の動機と目的

• 非特異的実超曲面 $\mathbb{R}X_m^n$ の $i$-番目のベッチ数 $b_i(\mathbb{R}X_m^n)$ の最大値の漸近的挙動を、$m \to \infty$ のときの $\mathbb{C}P^n$ 内の $m$ 次の非特異的実超曲面に対して特定すること。
• 実双被覆 $\mathbb{R}Y_{2k}^n$ のベッチ数の漸近的成長を調べること。ここで、$\mathbb{R}Y_{2k}^n$ は $2k$ 次の非特異的実超曲面に沿った分岐被覆である。
• 固定された $i,n$ に対して、極限定数 $\zeta_{i,n} = \lim_{m \to \infty} \max b_i(\mathbb{R}X_m^n)/m^n$ および $\delta_{i,n} = \lim_{k \to \infty} \max b_i(\mathbb{R}Y_{2k}^n)/k^n$ の存在を確立すること。
• ヴィロの手法を用いて、$\zeta_{0,n}$ および $\delta_{0,n}$ の再帰的下界を明示的に構成し、$T$-超曲面の既知の境界と比較すること。
• $n \geq 5$ のとき、$\mathbb{C}P^n$ 内の高次元の実超曲面がすべて $T$-超曲面でないことを、$T$-超曲面の境界と漸近的成長率を比較することで証明すること。

提案手法

• 著者たちは、格子多面体上の凸関数と符号分布を用いて、所望の位相的性質を持つ実代数的多様体を構成するヴィロの手法を用いる。
• 彼らは、$f_k$ と $f_{2k}$ がそれぞれ $k$ 次および $2k$ 次の実同次多項式であるとき、$\{f_k^2 - \epsilon f_{2k} = 0\}$ の小さな変形として二重超曲面を定義する。
• 得られる実超曲面 $\mathbb{R}X$ の位相的性質は、$l = 1,\dots,n$ に対して $\mathbb{R}X_k^l \times \mathbb{R}Y_{2k}^{n-l}$ の積を用いた「切り貼り」構成によって決定され、ここで $Y_{2k}^{n-l}$ は低次元の射影空間の実双被覆である。
• 漸近的挙動は、$k \to \infty$ のとき、切り貼り構造の位相的複雑性が無視可能になることから分析され、その結果、極限定数 $\zeta_{i,n}$ および $\delta_{i,n}$ が定義可能となる。
• 再帰的構成により、$\zeta_{0,n}$ および $\delta_{0,n}$ の再帰的下界が、低次元の構成要素に再帰的に適用することで得られる。
• 三角形分割および符号分布の空間におけるコンパクトネスの議論を用いて、極限 $\zeta_{i,n}$ および $\delta_{i,n}$ の存在が証明され、切り貼り構造内の成分数が漸近的領域で無視可能になるという事実が利用されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非特異的実超曲面 $\mathbb{R}X_m^n$ の $i$-番目のベッチ数 $b_i(\mathbb{R}X_m^n)$ の最大値の漸近的成長率は、$m \to \infty$ のときどのように振る舞うか？
• RQ2 固定された $i,n$ に対して、極限 $\zeta_{i,n} = \lim_{m \to \infty} \max b_i(\mathbb{R}X_m^n)/m^n$ および $\delta_{i,n} = \lim_{k \to \infty} \max b_i(\mathbb{R}Y_{2k}^n)/k^n$ が存在するか？
• RQ3 ヴィロの手法に基づく再帰的構成を用いて、漸近的極限 $\zeta_{i,n}$ および $\delta_{i,n}$ を下から抑えられるか？
• RQ4 $n \geq 5$ のとき、$\mathbb{C}P^n$ 内の高次元の実超曲面で、凸関数を用いたヴィロのパッチワーキングによって実現できない（すなわち $T$-超曲面でない）ものがあるか？
• RQ5 漸近的極限 $\zeta_{i,n}$ は、$T$-超曲面の対応する極限 $T\zeta_{i,n}$ と比べてどのように異なるか？特に高次元においては？

主な発見

• すべての $i,n$ に対して、極限 $\zeta_{i,n} = \lim_{m \to \infty} \max b_i(\mathbb{R}X_m^n)/m^n$ および $\delta_{i,n} = \lim_{k \to \infty} \max b_i(\mathbb{R}Y_{2k}^n)/k^n$ が存在し、正の実数である。
• $n=3$ のとき、$\frac{35}{96} \leq \zeta_{0,3} \leq \frac{5}{12}$ および $\frac{35}{48} \leq \zeta_{1,3} \leq \frac{5}{6}$ という境界が確立されている。
• 本稿では $\zeta_{0,3} \geq \frac{\delta_{0,2}}{6} + \frac{1}{12}$ および $\zeta_{1,3} \geq \frac{\delta_{1,2}}{6} + \frac{1}{6}$ を証明し、3次元と2次元の不変量の関係を結ぶ。
• $n \geq 5$ のとき、$T\zeta_{0,n} < \zeta_{0,n}$ であることが示され、これは $\mathbb{C}P^n$ 内の高次元の実超曲面がすべて $T$-超曲面でないことを示唆している。
• 本稿では、低次元の実超曲面および双被覆の積へのヴィロの構成を用いて、$\zeta_{0,n}$ および $\delta_{0,n}$ の再帰的下界を提供している。
• オイラー特徴標数の漸近的成長は、ある定数 $\chi_n$ を用いて $\max \chi(\mathbb{R}X_m^n) \sim \chi_n \cdot m^n$ と表され、他の位相的不変量に対しても同様の結果が拡張されている。